Obtenha, diretamente por integração, as expressões para x - e y - dadas na Fig 5.8 para:

43. Superfície sob uma parábola de grau n y - = k x n .

Passo 1

Falaaa.. belezinha???

Nessa questão vamos usar as equações para centróide:

x - A = ∫ x - e l d A

y - A = ∫ y - e l d A

E já vamos começar fazendo o desenho da figura e separando um elemento infinitesimal:

E nessa questão nós já sabemos o que temos que achar no final... Só olhar na tal figura 5.8, que é uma tabela:

x - = n + 1 n + 2 a

y - = n + 1 4 n + 2 h

A = a h n + 1

Passo 2

Vamos primeiro achar a área da figura:

A = ∫ d A

Temos a equação da curva:

y = k x n

E se liga só que podemos achar o valor de k ..

Para y = h temos x = a , então:

h = k a n

k = h a n

Agora precisamos definir quem é o bendito d A .

Repara só que a gente pegou um elemento beeeemmmm fininho, de largura d x , então podemos considerar esse elemento como um retângulo de largura d x e altura y .

Daí então temos que:

d A = y   d x

E aí sim podemos calcular a área:

A = ∫ 0 a y d x

A = ∫ 0 a h a n x n d x

A = h a n x n + 1 n + 1 0 a

A = h a n a n + 1 n + 1

A = a h n + 1

E para a posição do centróide do elemento:

x - e l = x

y - e l = y 2

Passo 3

Agora sim é só partir pro abraço e usar as equações.

Para x :

x - A = ∫ x - e l d A

x - a h n + 1 = ∫ 0 a x   y d x

x - a h n + 1 = ∫ 0 a x h a n x n d x

x - a h n + 1 = h a n ∫ 0 a x n + 1 d x

x - a h n + 1 = h a n x n + 2 n + 2 0 a

x - a h n + 1 = h a n a n + 2 n + 2

x - a h n + 1 = h a 2 n + 2

x - = n + 1 n + 2 a

Passo 4

Para y :

y - A = ∫ y - e l d A

y - a h n + 1 = ∫ y 2   y d x

y - a h n + 1 = ∫ 0 a h a n x n 2   h a n x n d x

y - a h n + 1 = h 2 2 a 2 n ∫ 0 a x 2 n d x

y - a h n + 1 = h 2 2 a 2 n x 2 n + 1 2 n + 1 0 a

y - a h n + 1 = h 2 2 a 2 n a 2 n + 1 2 n + 1

y - a h n + 1 = a h 2 4 n + 2

y - = n + 1 4 n + 2 h

Ufa... essa deu um trabalhinho, mas foi. =)

Resposta

x - = n + 1 n + 2 a

y - = n + 1 4 n + 2 h