Obtenha a expansão de Fourier da função

F ( t ) = - 1 ,     - π ω < t < 0 + 1 ,                           0 < t < π ω

no intervalo   π / ω . Considere ω = 1 . No intervalo periódico, calcule e elabore o gráfico das somas dos dois primeiros termos, dos três primeiros termos e dos quatro primeiros termos para demonstrar a convergência da série.

Passo 1

Faala meu povo, bora com tudo pra mais uma questão do nosso livro!

Bem galerinha, como F ( t ) é uma função ímpar, F ( – t )   =   – F ( t ) , de acordo com a Eq. (3,91) do nosso livro, todos os coeficientes a n desaparecem identicamente, e os b n são dados por:

b n = ω π ∫ - ω π ω π F ' t sin ⁡ n ω t ' d t '

= ω π - ∫ - ω π 0 sin ⁡ n ω t ' d t ' + ∫ 0 ω π sin ⁡ n ω t ' d t '

= ω π 1 n ω cos ⁡ n ω t ' 0 - π ω + - 1 n ω cos ⁡ n ω t ' π ω 0

= 2 n π cos ⁡ 0 - cos ⁡ n π

= 4 n π   ,     p a r a   n   í m p a r 0 ,     p a r a   n   p a r

Assim:

b ( 2 n + 1 ) = 4 2 n + 1 π b 2 n = 0 n = 0,1 , 2 …

Dessa forma:

F t = 4 π sin ⁡ ω t + 4 3 π sin ⁡ 3 ω t + 4 5 π sin ⁡ 5 ω t + …

Com isso obstemos os seguintes gráficos:

Finalizamos aqui nossa questão, tranquilo? Te vejo na próxima!

Resposta

v e r   p a s s o   a   p a s s o