Obtenha uma expressão para a fração de um período completo gasto por um oscilador harmônico simples em um pequeno intervalo Δx em uma posição x. Desenhe as curvas dessa função versus x para várias amplitudes diferentes. Discuta o significado físico dos resultados. Comente sobre as áreas sob as várias curvas.

Passo 1

E aí pessoal, belezinha? Vamos trabalhar agora em algumas questões de oscilações.

Diferenciando a equação de movimento para um oscilador harmônico simples:

x = A s e n ω 0 t = > ∆ x = A ω 0 cos ⁡ ω 0 t ∆ t

Como:

s e n ω 0 t = x A = > cos ⁡ ω 0 t = 1 - x A 2

Substituindo na equação anterior, encontramos:

∆ t = ∆ x A ω 0 cos ⁡ ω 0 t = ∆ x A ω 0 1 - x A 2 = ∆ x ω 0 A 2 - x 2

Então, a fração de um período completo que um oscilador harmônico simples passa dentro de um pequeno intervalo ∆x na posição x é dada por:

∆ t τ = ∆ x ω 0 τ A 2 - x 2 = ∆ x 2 π A 2 - x 2

Este resultado implica que o oscilador harmônico passa a maior parte de seu tempo próximo a x = ±A, o que obviamente é verdade. Por outro lado, obtemos uma singularidade para ∆t/τ em x = ±A. Isso ocorre porque nesses pontos x = 0 e ∆ x = A ω 0 cos ⁡ ω 0 t ∆ t não é válida.

Resposta

Ver passo a passo.