Obtenha a resposta de um oscilador linear para uma função degrau e uma função de impulso (no limite τ → 0 ) para sobreamortecimento. Desenhe as funções resposta.

Passo 1

E aí galera, tudo beleza? Primeiro vamos ver a resposta para a função degrau.

H t 0 é definido como:

Com as condições iniciais x t 0 = 0 e x ˙ ( t 0 = 0 ) , a solução geral será dada por:

Onde

Para o caso de sobreamortecimento ω 0 2 < β ² e consequentemente ω 1 = i β 2 - ω 0 2 é um número puramente imaginário. Por isso, cos ⁡ ω 1 ( t - t 0 ) e s e n   ω 1 ( t - t 0 ) não são mais funções oscilatórias, ao invés disso são transformadas em funções hiperbólicas. Portanto ω 2 = β 2 - ω 0 2 , perceba que ω 2 é puramente real:

E a resposta será dada por:

E agora para ajudar nossos neurônios, e simplificar a equação, vamos escolher t 0 = 0 , e a solução se torna.

Passo 2

E agora galerinha do bem vamos analisar a resposta para uma função impulso no limite τ → 0 , vamos lá sigam-me os bons.

Uma função impulso é definida como:

Para t 1 - t 2 = τ → 0 de forma que a τ = b , a resposta da função será dada por:

Novamente vamos simplificar adotando t = 0 , temos:

Para ω 1 = i ω 2 = i β 2 - ω 0 2 a solução será:

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)