Obtenha a resposta de um oscilador linear para a função de força:

F t = 0                               ,                                                 t < 0 a sin ⁡ ω t     ,     0 < t < π / ω 0                                 ,                                   t > π / ω

Passo 1

Faala meu povo, bora com tudo pra mais uma questão do nosso livro!

Primeiramente temos que a equação para um oscilador linear acionado é:

x ¨ + 2 β x ˙ ω 2 0 x = f ( t )

onde f ( t ) é a senóide mostrada no diagrama abaixo.

R e g i ã o   1 :     x = 0

R e g i ã o   2 :     x ¨ + 2 β x ˙ ω 2 0 x = a sin ⁡ ω t

R e g i ã o   3 :     x ¨ + 2 β x ˙ ω 2 0 x = 0

A solução para a região 2 é dada por:

x = e - β t A sin ⁡ ω 1 t + B cos ⁡ ω 1 t + x p

No qual:

x p = D a sin ⁡ ( ω t - δ )

Onde:

D = 1 ω 0 2 - ω 2 + 4 β 2 ω 2

δ = tan - 1 ⁡ 2 β ω ω 0 2 - ω 2

Assim,

x = e - β t A sin ⁡ ω 1 t + B cos ⁡ ω 1 t + D a sin ⁡ ( ω t - δ )

A condição inicial x 0 = 0 nos dá:

B = a D sin ⁡ δ     ( 1 )

E x ˙ 0 = 0 ,

- β B + ω 1 A + D a ω cos ⁡ δ = 0

Ou

A = A sin ⁡ δ - ω cos ⁡ δ a D ω 1     ( 2 )

A solução da região (3) é dada:

x = e - β t A ' sin ⁡ ω 1 t + B ' cos ⁡ ω 1 t

Nós exigimos que x ( t ) e x ˙ ( t ) para as regiões (2) e (3) coincidem em t = π / ω . A condição que: x 2 π ω = x 3 π ω então:

e - β t A sin ⁡ Φ + B cos ⁡ Φ + D a sin ⁡ ( π - δ ) = e - β t A ' sin ⁡ Φ + B ' cos ⁡ Φ

Onde: Φ = ω 1 ω π ou,

A ' + B ' cot ⁡ Φ = A + B cot ⁡ Φ + a D sin ⁡ δ sin ⁡ Φ e β π ω     ( 3 )

A condição que x 2 π ω = x 3 π ω então:

- β e - β π ω   A sin ⁡ Φ + B cos ⁡ Φ + a D ω cos ⁡ π - δ + e - β π ω   ( A ω 1 cos ⁡ Φ - B ω 1 sin ⁡ Φ )

= - β e - β π ω   A ' sin ⁡ Φ + B ' cos ⁡ Φ + e - β π ω   A ' ω 1 cos ⁡ Φ - B ' ω 1 sin ⁡ Φ

Ou

A ' ω 1 cos ⁡ Φ - β sin ⁡ Φ - B ' ( ω 1 sin ⁡ Φ - β cos ⁡ Φ )

= A - β sin ⁡ Φ + ω 1 cos ⁡ Φ - B ω 1 sin ⁡ Φ + ω 1 cos ⁡ Φ - e β π ω a D ω cos ⁡ δ

Ou

A ' - B ' ω 1 sin ⁡ Φ + β cos ⁡ Φ ω 1 cos ⁡ Φ - β sin ⁡ Φ = A - B ω 1 sin ⁡ Φ + β cos ⁡ Φ ω 1 cos ⁡ Φ - β sin ⁡ Φ - e β π ω a D ω cos ⁡ δ ω 1 cos ⁡ Φ - β sin ⁡ Φ     ( 4 )

Substituindo em (4) de (3), temos:

B ' ω 1 cos ⁡ Φ - β sin �� Φ cos ⁡ Φ + ω 1 sin ⁡ Φ + β cos ⁡ Φ sin ⁡ Φ ω 1 cos ⁡ Φ - β sin ⁡ Φ sin ⁡ Φ         = ω 1 cos ⁡ Φ - β sin ⁡ Φ cos ⁡ Φ + ( ω 1 sin ⁡ Φ + β cos ⁡ Φ ) sin ⁡ Φ ω 1 cos ⁡ Φ - β sin ⁡ Φ sin ⁡ Φ + a D e β π / ω   sin ⁡ δ sin ⁡ Φ + ω cos ⁡ δ ω 1 cos ⁡ Φ - β sin ⁡ Φ      

Do qual:

B ' = a D sin ⁡ δ + a ω 1 D e β π / ω sin ⁡ δ ω 1 cos ⁡ Φ - β sin ⁡ Φ + ω cos ⁡ δ sin ⁡ Φ     ( 5 )

Usando (3), podemos encontrar A ' :

A ' = A + B cot ⁡ Φ + a D sin ⁡ δ e β π / ω sin ⁡ Φ - B ' cot ⁡ Φ

Substituindo A , B e B ' de (2), (1) e (5), temos:

A = a D sin ⁡ δ β ω 1 + e β π ω β ω 1 cos ⁡ Φ + sin ⁡ Φ - a D ω cos ⁡ δ ω 1 1 + e β π ω cos ⁡ Φ

Assim, obtivemos todas as constantes nos dando as funções de resposta explicitamente.

E assim finalizamos nossa questão.

Resposta

v e r   p a s s o   a   p a s s o