Obtenha a série de Fourier representando a função:

0                           ,             - 2 π ω < t < 0 sin ⁡ ω t         ,           0 < t < 2 π / ω

Passo 1

Faala meu povo, bora com tudo pra mais uma questão do nosso livro!

Bem galerinha, a função:

0                           ,             - 2 π ω < t < 0 sin ⁡ ω t         ,           0 < t < 2 π / ω

A expansão de Fourier:

F t = 1 2 a 0 + ∑ n = 1 ∞ a n cos ⁡ ( n ω t ) + b n sin ⁡ ( n ω t )

Esta expansão é derivada para uma função periódica com período 2 π a função dada com período de 4 π ω .

Assim, precisamos fazer algumas mudanças nesta expansão como segue:

F t = 1 2 a 0 + ∑ n = 1 ∞ a n cos ⁡ n ω t 2 + b n sin ⁡ n ω t 2

Agora, precisamos calcular os coeficientes.

a 0 = 2 τ ∫ 0 τ F ( t ' ) d t '

= ω 2 π ∫ ω 2 π 0 sin ⁡ ω t ' d t ' + ∫ 0 ω 2 π sin ⁡ ω t ' d t '

= ω 2 π - cos ⁡ ω t ω ω 2 π 0

a 0 = 1 π

Agora para a n temos:

a n = 2 τ ∫ 0 τ F ( t ' ) cos ⁡ n ω t ' 2 d t '

= ω 2 π ∫ - ω 2 π ω 2 π F ( t ' ) cos ⁡ n ω t ' 2 d t '

= ω 2 π ∫ - ω 2 π ω 2 π sin ⁡ ( ω t ' ) cos ⁡ n ω t ' 2 d t '

= ω 4 π ∫ 0 ω 2 π sin ⁡ [ 1 + n / 2 ω t ] d t ' + ∫ 0 ω 2 π sin ⁡ [ 1 - n / 2 ω t ] d t '

= ω 4 π - cos ⁡ 1 + n 2 ω t 1 + n 2 ω ω 2 π 0 - cos ⁡ 1 - n 2 ω t 1 - n 2 ω ω 2 π 0

= ω 4 π 4 4 - n 2 - cos ⁡ 2 1 + n 2 π 1 + n 2 - cos ⁡ 2 1 - n 2 π 1 - n 2

Dessa forma:

0                           ,             n - p a r 2 π ( 4 - n 2 )   ,           n - í m p a r

Para b n , teremos:

b n = 2 τ ∫ 0 τ F ( t ' ) sin ⁡ n ω t ' 2 d t '

= ω 2 π ∫ - ω 2 π 2 π ω F ( t ' ) cos ⁡ n ω t ' 2 d t '

= ω 2 π ∫ 0 2 π ω sin ⁡ ( ω t ' ) sin ⁡ n ω t ' 2 d t '

= ω 4 π ∫ 0 2 π ω cos ⁡ [ n 2 + 1 ω t ' ] d t ' + ∫ 0 2 π ω cos ⁡ [ n 2 - 1 ω t ' ] d t '

= ω 4 π - sin ⁡ n 2 + 1 ω t n 2 + 1 ω 2 π ω 0 - sin ⁡ n 2 - 1 ω t n 2 - 1 ω 2 π ω 0

= 0

Assim:

b n = 0

Portanto, a expansão de Fourier para F ( t ) é:

F t = 1 2 π + ∑ n = í m p a r ∞ 2 π ( 4 - n 2 ) cos ⁡ n ω t 2  

Ou

F t = 1 2 π + ∑ n = í m p a r ∞ 2 π ( 4 - 2 n + 1 2 ) cos ⁡ ( 2 n + 1 ) ω t 2  

Finalizamos aqui nossa questão, tranquilo? Te vejo na próxima!

Resposta

F t = 1 2 π + ∑ n = í m p a r ∞ 2 π ( 4 - 2 n + 1 2 ) cos ⁡ ( 2 n + 1 ) ω t 2