Para um oscilador amortecido e impelido, demonstre que a energia cinética média é a mesma em uma frequência com um determinado número de oitavas acima da ressonância da energia cinética, bem como a uma frequência com o mesmo número de oitavas abaixo da ressonância.

Passo 1

Faala meu povo, bora com tudo pra mais uma questão do nosso livro!

Primeiramente vamos lembrar da equação, para um oscilador amortecido acionado, dada por:

x ¨ + 2 β x ˙ + ω 0 2 x = A cos ⁡ ( ω t )

A energia cinética média em tal caso pode ser dada pela equação:

< T >   = m A 2 4 ω 2 ω 0 2 - ω 2 + 4 ω 2 β 2

Sabendo disso podemos dar continuidade para nossa questão.

Passo 2

Agora temos dois casos: Ou a frequência dada é:

Caso 1: (sobre ω 0 ) neste caso temos:

ω a ​ = 2 n ω ​ 0

Para que a energia cinética se torne:

< T >   = m A 2 4 2 2 n ω 2 ω 0 2 - 2 2 n ω 2 + 4 × 2 2 n ω 2 β 2

Caso 2: A frequência indicada é (abaixo de ω 0 ) neste caso temos:

ω b ​ = 2 - 2 n ω ​ 0

Para que a energia cinética se torne:

< T >   = m A 2 4 2 2 n ω 2 ω 0 2 - 2 - 2 n ω 2 + 4 × 2 - 2 n ω 2 β 2

Que é o mesmo que no primeiro caso apenas multiplicando por 2 4 n ao numerador e ao denominador.

Resposta

As energias cinéticas médias para as frequências acima e abaixo da frequência caracterizada são iguais.