Um oscilador harmônico não amortecido satisfaz a equação de movimento m ( d 2 x / d t 2 +   ω 0 2   = F ( t ) . A força de impulsão F t = F 0 é aplicada em t = 0 . (a) Determine x ( t ) para t > 0 para as condições iniciais x = 0 e v = 0 em t = 0 . (b) Determine x ( t ) para ω = ω 0 considerando o limite ω → ω 0 em seu resultado para a parte (a). Desenhe o seu resultado para x ( t ) .

Passo 1

E aí minha gente, bora com tudo pra mais uma questão do nosso livro!

Letra (a)

Aplicando a segunda lei de Newton, temos que:

m x ¨ + m   ω 0 2 x =   F 0 sin ⁡   ω t

Que é uma equação diferencial de 2ª ordem que tem a solução geral, expressa como:

x t = A sin ⁡ ω 0 t +   B cos ⁡ ω 0 t + C sin ⁡ ω 0 t

Utilizando as condições iniciais em t = 0 nos temos x = 0 e x ˙ = 0 , por substituição ficamos com:

B = 0

A = - ω C ω 0

Portanto:

x t = F 0 ( ω 0 s in ⁡ ω t ) - ω sin ⁡ ω 0 t m ω 0 ω 0 + ω ω 0 - ω

Passo 2

Letra (b)

Agora, tomando ω → ω 0 nós temos:

x t = F 0 ω 0 t 3 6 m

Representando graficamente, ficamos com:

Finalizamos aqui nossa questão, tudo beleza? Te vejo na próxima!

Resposta

Letra (a)

x t = F 0 ( ω 0 sin ⁡ ω t ) - ω sin ⁡ ω 0 t m ω 0 ω 0 + ω ω 0 - ω

Letra (b)

x t = F 0 ω 0 t 3 6 m