Para um oscilador ligeiramente amortecido, demonstre que Q ≅ ω 0 / ∆ ω (Equação 3.65).

Passo 1

Faala meu povo, bora com tudo pra mais uma questão do nosso livro!

Primeiramente vamos lembrar da equação, para um oscilador acionado, dada por:

D = A ω 0 - ω 2 + 4 ω 2 β 2

Assumindo que o sistema está em ressonância temos:

ω = ω 0 - ω 2

Por substituição nós temos:

D R = A 2 β ω 0 2 - β 2

Faremos ω = ω 1 em D R n o v o = 1 2 D R

Portanto por substituição nós temos:

1 2 D R = A 4 ω 0 2 β 2 + ω 0 2 - ω 1 2

Assim, conseguimos:

ω 0 2 - ω 1 2 = - 2 β 2 ± 2 β 2 1 - β 2 ω 0 2

Agora temos que levar em consideração algumas aproximações que podem ser feitas dependendo do caso dado.

Estamos lidando com um oscilador levemente amortecido, então o fator de amortecimento β tem um valor pequeno, portanto, podemos desprezar β 2 completamente.

Passo 2

Portanto agora nós temos:

ω 1 2 ≅ ω 0 2 ± 2 β ω 0

De modo que: ω 1 = ω 0 1 ± β ω 0

O que nos leva finalmente a:

∆ ω = ω 0 + β + β - ω 0 = 2 β

Assim, por substituição para encontrar o fator Q , temos:

Q = ω 0 β ≅ ω 0 ∆ ω

Finalizamos aqui nossa questão, tranquilo? Te vejo na próxima!

Resposta

Q ≅ ω 0 ∆ ω