Um oscilador linear amortecido, originalmente no repouso em sua posição de equilíbrio, está sujeito a uma função de força conforme:

Determine a função resposta. Considere τ → 0 e demonstre que a solução se torna aquela de uma função degrau.

Passo 1

E aí galera, tudo beleza? Nessa questão vamos iniciar reescrevendo a função da força, que consiste em duas funções de força baseadas em t > τ :

Durante o intervalo 0 < t < τ , a equação diferencial que descreve o movimento é:

A solução particular é x p = C t + D , e substituindo na equação anterior:

De onde:

Portanto:

Que nos dá:

Assim a solução geral para 0 < t < τ é:

Então:

Passo 2

Êeeee calculera.... segue o jogo...

As condições iniciais x 0 = 0 ,   x ˙ 0 = 0 , impõem que:

Portanto a função resposta é:

Para a função da força - a t - τ τ do passo 1, temos uma resposta similar na equação anterior, e daí adicionamos essas duas equações para obter a função resposta total:

Quando τ → 0 , podemos aproximar e β τ até 1 + β τ , e ainda s e n   ω 1 τ ≡ ω 1 τ , cos ⁡ ω 1 τ ≅ 1 . Então:

Resposta

Se usarmos ω 1 2 = ω 0 2 - β 2 , o coeficiente de e - β τ s e n   ω 1 t se torna β / ω 1 . Portanto:

Olha só que maneiro, isso é a resposta de uma função degrau.