Enunciado

O painel de sinalização está sujeito à carga uniforme do vento. Determine as componentes da tensão nos pontos A e B no poste de sustentação de 100 mm de diâmetro. Mostre os resultados em um elemento de volume localizado em cada um desses pontos

Passo 1

Oi oi, meu xuxuzinho!! Tudo bem com você??

Bom, nosso enunciado nos diz que esse painel recebe uma carga uniforme na sua superfície, e nos pede o estado de tensão nos pontos A e B da seção transversal.

Isso é uma questão típica de esforços combinados. Tem um passo a passo para resolver. Vem que tem mostro!

Passo 2

Nosso primeiro passo será calcular nossas forças internas nessa seção, ou seja, a normal, os momentos e os cortantes.

Vamos começar com o equilíbrio em x . Percebe que nessa direção a gente tem nossa carga distribuída.

A resultante dela vai ser o volume dessa carga, e o ponto de aplicação vai ser no meio do painel.

∑ F x = 0

V x = - 2 ⋅ 1 ⋅ 1,5

V x = - 3   kN    

Não temos nenhuma força no sentido de y , então:

↑ ∑ F y = 0

V y = 0   kN  

Mesmo acontece para o z , logo também não temos um esforço normal.

→ ∑ F z = 0

N z = 0   N      

Vamos olhar os momentos. Nossa força resultante no meio do painel vai causar momento fletor em relação ao eixo y e um momento torçor em relação a z :

↶ ∑ M y = 0

M y = 3 × 3,5 = 10,5   kN.m

Do mesmo modo:

↶ ∑ M z = 0

T z = 3   kN.m

Passo 3

Agora vamos calcular as tensões em cada ponto. Só para facilitar, podemos deixar calculado as características geométricas da nossa seção:

I = π 4 r 4 = 0,25 π   0,05 4

A = π r 2 = π   0,05 2

J = π 2 r 4 = 0,5 π   0,05 4

E tá aqui a carinha da nossa seção.

Passo 4

O ponto A não vai sofrer cisalhamento pelo esforço cortante porque está na borda da seção. Ele vai ter uma tensão normal (tração) por causa da flexão e cisalhamento por causa da torção.

Aí as continhas para ele ficam:

σ a =   M y c a I = 10,5 × 0,05 × 10 ³ 0,25 π   0,05 4 = 107   M P a

Como A   está na borda da seção e no ponto mais longe do momento, temos c a = ρ a = 0,05   m .

τ a =   T ρ a J =   3 × 10 ³ × 0,05 0,5 π   0,05 4   = 15,3   M P a

A orientação desse cisalhamento vai ser o sentido de T quando ele passa por A .

Logo, nosso elemento de volume fica assim:

Passo 5

E o ponto B não vai sofrer tensão normal por causa do momento fletor porque ele está na linha neutra. Mas vai sofrer cisalhamento por causa da torção e do cortante.

σ b = 0   M P a

Aqui é maneiro a gente fazer uma paradinha para calcular o Q b . É só a gente multiplicar o valor do centroide do semicírculo pela área do semicírculo, tá bem?

Q = 4 3 π r ⋅ r 2 π 2 = 2 3 r 3

Aqui novamente temos ρ b = 0,05 . E t é a espessura da seção, t = 0,1 .

τ b =   V x Q b I t + T ρ b J = - 3000 2 0,05 3 3 0,25 π   0,05 4 0,1 + 3   x   10 3 x   0,05 0,5 π   0,05 4

τ b = 14,8   M P a

Repara que esses cisalhamentos estão na mesma direção, por isso que pudemos soma-los. O cisalhamento da torção também acompanha o sentido do momento torçor quando passa por ele.

Aí nosso elemento fica:

Ufa! Acabamos!

Resposta

σ a =     107   M P a

τ a = 15,3     M P a

σ b = 0   M P a

τ b =   14,8     M P a

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