Uma partícula de massa m é atraída para um centro de força com força de magnitude k r 2 .Utilize coordenadas polares planas e encontre as equações de movimento de Hamilton.

Passo 1

Faaaaaala, galera... Tranquileba??

Como sabemos, antes de escrevemos a hamiltoniana, temos que escrever a lagrangiana, assim:

L = T - U = 1 2 m x ' 2 + y ' 2 - U

Passando para coordenadas polares, temos:

L = m 2 r ' 2 + r 2 θ ' 2 - U

Para obtermos U, usemos que:

F = ∇ U → U = - ∫ F r d r   = - ∫ k r 2 d r = k r

Assim:

L = m 2 r ' 2 + r 2 θ ' 2 + k r

Assim podemos escrever:

p r = ∂ L ∂ r ' = m r ' → r ' = p r m

p θ = ∂ L ∂ θ ' = m r 2 θ ' → θ ' = p θ / m r 2    

Bora pro próximo passo?!

Passo 2

Obrigado por vir.

Desde que as coordenadas de transformação são independentes de t, e a energia potencial é independente da velocidade, a Hamiltoniana é a energia total:

H = T + U = m 2 r ' 2 + r 2 θ ' 2 - k r

H = 1 2 m   p r 2 m 2 + r 2 p θ 2 m 2 r 4 - k r

H = p r 2 2 m + p θ 2 2 m r 2 - k r

Passo 3

Assim, podemos escrever as equações de movimento Hamiltoniano:

r ' = ∂ H ∂ p r = p r m

θ ' = ∂ H ∂ p θ = p θ m r 2

p r ' = - ∂ H ∂ r = p θ 2 m r 3 - k r 2

p θ ' = - ∂ H ∂ θ = 0

Resposta

r ' = ∂ H ∂ p r = p r m

θ ' = ∂ H ∂ p θ = p θ m r 2

p r ' = - ∂ H ∂ r = p θ 2 m r 3 - k r 2

p θ ' = - ∂ H ∂ θ = 0