Uma partícula de massa m, se encontra em repouso na extremidade de uma mola (constante de força = k) suspenso a partir de um suporte fixo. Em t = 0, uma força para baixo constante F é aplicada à massa e atua por um tempo t0. Demonstre que, após a remoção da força, o deslocamento da massa a partir de sua posição de equilíbrio (x = x0, onde x é para baixo) é:

x - x 0 = F k cos ⁡ ω 0 t - t 0 - cos ⁡ ω 0 t

Onde ω 0 2 = k / m .

Passo 1

E aí pessoal, belezinha? Vamos trabalhar agora em algumas questões de oscilações.

A equação do movimento para 0 ≤ t ≤ t 0 é:

m x ¨ = - k x - x 0 + F = - k x + F + k x 0

Para todo t > t 0 , a equação é:

m x ¨ = - k x - x 0 = - k x + k x 0

É conveniente definir:

ε = x - x 0

Assim, transformamos as duas equações de movimento em:

m ε ¨ = - k ε + F ; s e   0 ≤ t ≤ t 0

m ε ¨ = - k ε ; s e   t > t 0

As soluções homogêneas dessas equações são de forma familiar:

ε t = A e i ω t + B e - i ω t ,   s e n d o   ω = k / m

Uma solução particular é ε = F / k . Então as soluções gerais são:

ε - = F k + A e i ω t + B e - i ω t ;   s e   0 ≤ t ≤ t 0

ε + = C e i ω t + D e - i ω t ; s e   t > t 0

Para determinar as constantes, usamos as condições iniciais: x(t = 0) = x0 e x(t = 0) = 0. Assim:

ε - t = 0 = ε ˙ - t = 0 = 0

As condições dão duas equações para A e B:

0 = F k + A + B   e   0 = i ω A - B

Resolvendo, obtemos:

A = - F 2 k = B

Daí, temos que:

ε - = F k + A e i ω t + B e - i ω t = x - x 0 = F k 1 - cos ⁡ ω t ; s e   0 ≤ t ≤ t 0

Passo 2

Como para qualquer movimento físico, x e x ˙ devem ser contínuos, os valores de ε - (t = t0) e ε ˙ - (t = t0) são as condições iniciais para ε + (t) que são necessárias para determinar C e D:

ε + t = t 0 = F k 1 - cos ⁡ ω t = C e i ω t 0 + D e - i ω t 0

ε ˙ + t = t 0 = F k ω s e n   ω t 0 = i ω C e i ω t 0 - D e - i ω t 0

Reescrevendo, temos o sistema:

C e i ω t 0 + D e - i ω t 0 = F k 1 - cos ⁡ ω t C e i ω t 0 - D e - i ω t 0 = - i F k s e n   ω t 0

Então, somando e subtraindo um do outro, obtemos:

C = F 2 k e - i ω t 0 1 - e i ω t 0

D = F 2 k e i ω t 0 1 - e - i ω t 0

Substituindo os resultados encontrados temos:

ε + = C e i ω t + D e - i ω t = F 2 k e - i ω t 0 1 - e i ω t 0 e i ω t + e i ω t 0 1 - e - i ω t 0 e - i ω t ; s e   t > t 0

ε + = F 2 k e i ω ( t - t 0 ) - e i ω t + e - i ω t - t 0 - e - i ω t = F k cos ⁡ ω ( t - t 0 ) - cos ⁡ ω t

Finalizando, demonstramos o que era pedido no enunciado, pois:

x - x 0 = F k cos ⁡ ω ( t - t 0 ) - cos ⁡ ω t

Resposta

Ver passo a passo.