Uma partícula de massa se move em uma dimensão sob a influência de uma força
onde e são constantes positivas. Compute as funções de Lagrange e Hamilton. Compare a hamiltoniana e a energia total e discuta a conservação de energia pala o sistema.
Passo 1
Fala, galerinha. Estamos aqui pra mais um exercício, mas calma que vou te ajudar nessa.
Primeiro precisamos encontrar a energia potencial. Fazemos isso através de
Então
Com a energia potencial, podemos achar a lagrangiana, que fica na forma
A Hamiltoniana fica na forma
Como
Colocamos a Hamiltoniana com o no lugar de , ficando com
Substituindo por , pela equação de , temos
Passo 2
Agora que encontramos a lagrangiana e hamiltoniana, podemos fazer a discussão pedida. Vemos que a hamiltoniana é a soma da energia cinética mais a potencial. Então ela representa a energia do sistema. Mas não é conservada no tempo porque depende explicitamente do tempo.
Resposta
A Hamiltoniana representa a energia do sistema mas a energia não é conservada no tempo.
Mais um problema feito. Bora pra mais um?