Uma partícula de massa m se move em uma dimensão sob a influência de uma força

F x ,   t = k x 2 e - t τ

onde k e τ são constantes positivas. Compute as funções de Lagrange e Hamilton. Compare a hamiltoniana e a energia total e discuta a conservação de energia pala o sistema.

Passo 1

Fala, galerinha. Estamos aqui pra mais um exercício, mas calma que vou te ajudar nessa.

Primeiro precisamos encontrar a energia potencial. Fazemos isso através de

F = - ∂ U ∂ x

Então

U = - ∫ F x ,   t d x

U = - e - t τ   ∫ k x 2 d x

U = - e - t τ - k x

U = k x e - t τ

Com a energia potencial, podemos achar a lagrangiana, que fica na forma

L = T - U = 1 2 M x ˙ 2 - k x e - t τ

A Hamiltoniana fica na forma

H = p x x ˙ - L

Como

p x = ∂ L ∂ x ˙ = M x ˙

Colocamos a Hamiltoniana com o p x no lugar de M x ˙ , ficando com

H = M x ˙ ⋅ x ˙ - 1 2 M x ˙ 2 + k x e - t τ

H = M x ˙ 2 - 1 2 M x ˙ 2 + k x e - t τ

H = M x ˙ 2 2 + k x e - t τ

Substituindo M x ˙ 2 2 por p x 2 2 M , pela equação de p x , temos

H = p x 2 2 M + k x e - t τ

Passo 2

Agora que encontramos a lagrangiana e hamiltoniana, podemos fazer a discussão pedida. Vemos que a hamiltoniana é a soma da energia cinética mais a potencial. Então ela representa a energia do sistema. Mas não é conservada no tempo porque depende explicitamente do tempo.

Resposta

A Hamiltoniana representa a energia do sistema mas a energia não é conservada no tempo.

Mais um problema feito. Bora pra mais um?