Uma partícula de massa m se move sob a influência da gravidade ao longo da hélice z = k θ , r = c o n s t a n t e   onde k é uma constante e z é vertical. Obtenha as equações de movimento de Lagrange.

Passo 1

Faaaaaala, galera... Tranquileba??

Fazendo um esboço da situação, temos:

Escrevendo a energias:

T = 1 2 m r ' 2 + r 2 θ ' 2 + z ' 2

U = m g z

Do enunciado, temos que: z ' = k θ ' ,   r ' = 0

Assim a lagragiana é:

L = T - U = 1 2 m r 2 k 2 z ' 2 + z ' 2 - m g z

Bora pro próximo passo?!

Passo 2

Obrigado por vir.

Como temos como única coordenada espacial o z , a equação de movimento:

d d t ∂ L ∂ z ' = ∂ L ∂ z

∂ L ∂ z ' = m r 2 k 2   z ' ' + m z ' '

E:

∂ L ∂ z = - m g

Passo 3

Assim:

d d t m r 2 k 2   z ' + m z ' =   - m g

De onde retiramos que:

z ' ' = - g r 2 k 2 + 1

Resposta

z ' ' = - g r 2 k 2 + 1