Uma partícula de massa m pode deslizar livremente ao longo de um fio AB cuja distância perpendicular até a origem O seja h (consulte a ligura 7.A). A linha oC gira sobre a origem a uma velocidade angular constante θ ' = ω . A posição da partícula pode ser escrita em termos do ângulo θ distância q até o ponto C. Se a partícula estiver sujeita a uma força gravitacional, e se as condições inciais forem:

θ 0 = 0 ,   q 0 = 0 ,   q ' 0 = 0

demonstre que a dependência de tempo da coordenada q é:

q t = g 2 ω 2 cosh ⁡ ω t - cos ⁡ ω t

Represente este resultado. Compute a hamiltoniana para o sistema e compare com a energia total A energia total é conservada?

Passo 1

Faaaaaala, galera... Tranquileba??

Usemos como coordenadas generalizadas q, de xy temos:

x = h cos ⁡ θ + q sin ⁡ θ = h cos ⁡ ω t + q t sin ⁡ ω t

y = h sin ⁡ θ - q cos ⁡ θ = h sin ⁡ ω t - q t cos ⁡ ω t

Assim:

x ' = - h ω sin ⁡ ω t + q ω cos ⁡ ω t + q ' sin ⁡ ω t

y ' = h   ω cos ⁡ ω t + q ω sin ⁡ ω t - q ' cos ⁡ ω t

Assim, a lagrangiana é:

L = T - U = 1 2 m x ' 2 + y ' 2 - m g y

L = 1 2 m h 2 ω 2 + 1 2 m q 2 ω 2 + 1 2 m q ' 2 - m g h sin ⁡ ω t + m g q cos ⁡ ω t - m h ω q '

Bora pro próximo passo?!

Passo 2

Obrigado por vir.

A equação de movimento para a coordenadas q é:

d d t ∂ L ∂ q ' = ∂ L ∂ q

q ' ' - ω 2 q = g cos ⁡ ω t

O que é uma equação diferencial ordinária de segundo grau com coeficientes constantes, e uma força oscilatória. A solução é:

q h t = A cos ⁡ i ω t + δ

q p t = - g 2 ω 2 cos ⁡ ω t

Tendo a solução mais geral possível:

q t = A cos ⁡ i ω t + δ - g 2 ω 2 cos ⁡ ω t

Usando as condições iniciais:

q 0 = A cos ⁡ δ - g 2 ω 2 = 0

q ' 0 = - i ω A sin ⁡ δ = 0

Onde temos:

δ = 0 ,   A = g 2 ω 2

Assim:

q t = g 2 ω 2 cosh ⁡ ω t - cos ⁡ ω t

O gráfico da equação em função de t é:

Passo 3

O momento canônico em relação à q é:

p q = ∂ L ∂ q ' = m q - m ω h

Assim a hamiltoniana é:

H = p q ' - L

H = m q ' 2 - m ω h q ' - 1 2 m h 2 ω 2 - 1 2 m q 2 ω 2 - 1 2 m q ' 2 + m g h sin ⁡ ω t - m g q cos ⁡ ω t + m h ω q '

H = 1 2 m q ' 2 - 1 2 m ω 2 h 2 - 1 2 m ω 2 q 2 + m g h sin ⁡ ω t - m g q cos ⁡ ω t

Introduzindo p ' :

H = p q 2 2 m + ω h p - 1 2 m ω 2 q 2 + m g h sin ⁡ ω t - m g q cos ⁡ ω t

Veja que a hamiltoniana depende do tempo, logo a energia total T + U não é hamiltoniana.

Resposta

H = p q 2 2 m + ω h p - 1 2 m ω 2 q 2 + m g h sin ⁡ ω t - m g q cos ⁡ ω t

E não é conservada.