Uma partícula de massa m repousa em um plano liso. O plano é elevado a um ângulo de inclinação a uma taxa constante em fazendo com que a partícula se mova para baixo do plano. Determine o movimento da partícula.
Passo 1
Faaaaaala, galera... Tranquileba??
Tire a sandália dos pés, que aí vem uma demonstração linda da formulação lagrangiana, e de bônus vamos resolver a EDO.
Façamos um esboço da situação dita no enunciado:

Coloquemos a origem do sistema na parte de baixo. Assim, a equação lagrangiana é:
Onde:
E consequentemente . Assim:
Bora pro próximo passo?!
Passo 2
Obrigado por vir.
A equação de Lagrange para o movimento em é:
Que é:
E aqui obtemos a EDO. Vamos lá resolvê-la?!
Passo 3
Bom... Sabemos que a solução mais geral é:
Assim, vamos resolver para
A solução final é:
E para
De forma que:
Colocando essa equação na EDO, temos:
Onde temos que:
Assim a solução fica:
Partir daqui, podemos definir A e B pelas condições iniciais:
A primeira condição, implica que:
A segunda:
Assim, temos o sistema:
De onde tiramos que:
Assim, a solução fica:
Já temos isso, podemos reduzir à:
Resposta
Já temos isso, podemos reduzir à: