Uma partícula de massa m repousa em um plano liso. O plano é elevado a um ângulo de inclinação θ a uma taxa constante α ( θ = 0 em t = 0 ) fazendo com que a partícula se mova para baixo do plano. Determine o movimento da partícula.

Passo 1

Faaaaaala, galera... Tranquileba??

Tire a sandália dos pés, que aí vem uma demonstração linda da formulação lagrangiana, e de bônus vamos resolver a EDO.

Façamos um esboço da situação dita no enunciado:

Coloquemos a origem do sistema na parte de baixo. Assim, a equação lagrangiana é:

L = T - U = 1 2 m   r ' 2 + r 2 θ ' 2 - m g   r sin ⁡ θ

Onde:

θ = α t

E consequentemente θ ' = α . Assim:

L = m 2 r ' 2 + r 2 α 2 - m g   r sin ⁡ α t

Bora pro próximo passo?!

Passo 2

Obrigado por vir.

A equação de Lagrange para o movimento em r é:

m r ' ' = m α 2 r - m g sin ⁡ α t

Que é:

r ' ' - α 2 r = - g sin ⁡ α t

E aqui obtemos a EDO. Vamos lá resolvê-la?!

Passo 3

Bom... Sabemos que a solução mais geral é:

r t = r h t + r p t

Assim, vamos resolver para r h t :

r ' ' - α 2 r = 0

A solução final é:

r h = A   e α t + B   e α t

E para r p :

r p = C sin ⁡ α t

De forma que:

r p ' ' = - C α 2 sin ⁡ α t

Colocando essa equação na EDO, temos:

- C α 2 sin ⁡ α t - α 2 C sin ⁡ α t = - g sin ⁡ α t

Onde temos que:

C = g 2 α 2

Assim a solução fica:

r t = A   e α t + B   e α t +   g 2 α 2   sin ⁡ α t

Partir daqui, podemos definir A e B pelas condições iniciais: r 0 = r 0 ; r ' 0 = 0

A primeira condição, implica que:

r 0 = A + B

A segunda:

0 = A - B + g 2 α 2

Assim, temos o sistema:

r 0 = A + B

A - B = - g 2 α 2

De onde tiramos que:

A = 1 2 r 0 - g 2 α 2

B = 1 2 r 0 + g 2 α 2

Assim, a solução fica:

r t = A   e α t + B   e α t +   g 2 α 2   sin ⁡ α t = 1 2 r 0 - g 2 α 2 e α t + 1 2 r 0 + g 2 α 2 e α t + g 2 α 2   sin ⁡ α t

Já temos isso, podemos reduzir à:

r t = r 0 cosh ⁡ α t + g 2 α 2 sin ⁡ α t - sinh ⁡ α t

Resposta

r t = A   e α t + B   e α t +   g 2 α 2   sin ⁡ α t = 1 2 r 0 - g 2 α 2 e α t + 1 2 r 0 + g 2 α 2 e α t + g 2 α 2   sin ⁡ α t

Já temos isso, podemos reduzir à:

r t = r 0 cosh ⁡ α t + g 2 α 2 sin ⁡ α t - sinh ⁡ α t