Uma partícula de massa m tem o movimento restrito em um círculo de raio R. O círculo gira no espaço sobre um ponto no círculo, que é fixo. A rotação acontece no plano do círculo e com velocidade angular constante ω . Na ausência de força gravitacional, demonstre que o movimento da partícula sobre uma extremidade de um diâmetro que passa pelo ponto pivô e pelo centro do círculo é o mesmo que o do pêndulo plano em um campo gravitacional uniforme. Explique por que este é um resultado razoável.

Passo 1

Faaaaaala, galera... Tranquileba??

Façamos um esboço do dito enunciado:

Vemos que as coordenadas x e y são:

x = R cos ⁡ ω t + R cos ⁡ ( ϕ + ω t )  

y = R sin ⁡ ω t   + R sin ⁡ ( ϕ + ω t )

x ' =   - R ω sin ⁡ ω t - R ϕ ' + ω sin ⁡ ϕ + ω t

y ' = R   ω cos ⁡ ω t + R ϕ ' + ω cos ⁡ ϕ + ω t

Desde que não haja força externa, podemos escrever a lagrangiana, a energia potencial é constante e pode ser dada como igual a 0.

Bora pro próximo passo?!

Passo 2

Obrigado por vir.

A lagrangiana é:

L = 1 2 m x ' 2 + y ' 2 = m 2 R 2 ω 2 + R 2 ϕ + ω 2 + 2 R 2 ω ϕ + ω cos ⁡ ϕ

A matriz lagrangiana do movimento é:

∂ L ∂ θ   - d d t ∂ L ∂ θ ' = 0  

Onde:

∂ L ∂ ϕ = - m R 2 ω ϕ ' + ω sin ⁡ ϕ

E:

d d t ∂ L ∂ θ ' = d d t m R 2 ϕ ' + ω + ω cos ⁡ ϕ

Assim obtemos a equação de movimento:

ϕ ' ' + ω 2 sin ⁡ ϕ = 0

Agora vamos conversar se esse valor   é razoável.

Passo 3

Bom, o que nós temos é a equação de movimento de um pendulo simples, o que não aparenta fazer sentido, pois queremos obter para um pendulo plano, Mas para para que assim fosse, basta assumirmos a aceleração sentida pela partícula em rotação como:

a = ω 2 R i ' + e r ' .

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)