Uma partícula se move em um campo de força esfericamente simétrico com energia potencial dada por U r = - k r Calcule a função hamiltoniana em coordenadas esféricas e obtenha as equações canônicas de movimento. Represente o caminho que um ponto representativo para o sistema seguiria em uma superfície H -- constante em espaço de fase. Comece mostrando que o movimento deve estar em um plano de modo que o espaço de fase seja quadridimensional r , θ , ρ , p θ mas somente os três primeiros são não triviais). Calcule a projeção do caminho de fase no plano r-p e em seguida leve em consideração a variaçáo com θ .

Passo 1

Faaaaaala, galera... Tranquileba??

Bora lá?!

A lagragiana para este caso é:

L = T - U = 1 2 m r ' 2 + r 2 θ ' 2 + r 2 sin 2 ⁡ θ   θ '   ϕ 2 + k r

De forma que assumimos as coordenadas esféricas como as coordenadas generalizadas, e os momentos canônicos são:

p r = ∂ L ∂ r ' = m r '

p θ = ∂ L ∂ θ ' = m r 2   θ '

p ϕ = ∂ L ∂ ϕ ' = m r 2 ϕ ' sin ⁡ θ

Bora pro próximo passo?!

Passo 2

Obrigado por vir.

Desde que não sejam dependentes do tempo, a energia total é Hamiltoniana, assim:

H = T + U = 1 2 m r ' 2 + r 2 θ ' 2 + r 2 sin 2 ⁡ θ   θ '   ϕ 2 - k r

H = 1 2 m p r 2 m + p θ 2 m r 2 + p ϕ 2 m r 2 sin ⁡ θ - k r

E as equações de movimento são:

p r ' = - ∂ H ∂ r = - k r 2 + p θ 2 m r 3 + p ϕ 2 m r 3 sin 2 ⁡ θ

p θ ' = - ∂ H ∂ θ = p ϕ 2 cot ⁡ θ m r 2 sin ⁡ θ

p ϕ ' = ∂ H ∂ ϕ = 0

A ultima implica que p ϕ = c o n s t a n t e , assim:

H = 1 2 m p r 2 + p θ 2 r 2 + c o n s t a n t e r 2 sin 2 ⁡ θ - k r

Passo 3

Para que o movimento seja constante, como diz H = c o n s t a n t e , peguemos nossa equação e fixemos alguma das variáveis enquanto as outras são dadas, assim representemos H=E como H constante:

p r = 2 m E - p θ 2 sin 2 ⁡ θ + c o n s t a n t e r 2 sin 2 ⁡ θ + 2 m k r

E a projeção do caminho de fase no plano r-p é dado:

Resposta

p r = 2 m E - p θ 2 sin 2 ⁡ θ + c o n s t a n t e r 2 sin 2 ⁡ θ + 2 m k r

E a projeção do caminho de fase no plano r-p é dado: