Uma partícula se move em uma órbita quase circular em um campo de força descrito por F r = - k r 2 exp ⁡ - r a Demonstre que os apsides avançam por um valor aproximadamente igual a π ρ a em cada revolução, onde ρ é o raio da órbita circular onde ρ ≪ a

Passo 1

Faaaaaala, galera... Tranquileba??

Como temos, o raio de um orbita circular de um campo descrito:

F r = - k r 2   e - r a                   ( 0 . 1 )

É determinado pela força centrifuga:

k r 2   e -   ρ a = l 2 m ρ 3                     ( 0.2 )

O raio ρ é orbita circular que deve satisfazer:

ρ e - ρ a = l 2 m ρ 3                   ( 0 . 3 )

Assim, a orbita na qual estamos interessados é quase circular, temos:

r θ = ρ 1 + δ θ                   ( 0 . 4 )

Onde δ θ ≪ 1 para todo valor de θ (com essa descrição, os apsides correspondem aos valores máximos e mínimos de δ )

Bora pro próximo passo?!

Passo 2

Obrigado por vir.

Podemos expressar as seguintes quantidades em termos de δ :

u = 1 r = 1 ρ 1 - δ                   ( 0 . 5 )

d 2 d θ 2 1 r = - 1 ρ   d 2 δ d θ 2                   ( 0 . 6 )

Da equação 8.20:

d 2 u d θ 2 + u = - μ l 2 1 u 2   F 1 u                   ( 0 . 7 )

Temos:

- 1 p   d 2 δ d θ 2 + 1 ρ 1 - δ = m k e - ρ a l 2   1 - ρ δ a                   ( 0 . 8 )

Multiplicando por ρ , e substituindo a equação 3, temos

d 2 δ d θ 2 + 1 - ρ a δ = 0               ( 0.9 )

Passo 3

Chegamos à uma EDO. Vejamos que a solução dela depende se ρ a é maior ou menor que 1, consideramos somente ρ < a  

Para um condição inicial. Escolhamos δ = δ 0 para um máximo apside em θ = 0 , assim temos:

δ = δ 0 cos ⁡ 1 - ρ a 1 2 θ                   ρ < a               ( 1.0 )

Esta solução descreve uma orbita com apsides bem definidos. O Avanço de apsides podem ser achados pela equação (1.0) ao computarmos um valor para θ para um máximo. Isto é:

θ = 2 π 1 - ρ a             ( 1 . 1 )

De forma que o avanço dos apsides é dado por:

Δ = θ - 2 π = 2 π 1 - 1 - ρ a 1 2             ( 1 . 2 )

Em um caso particular, onde ρ ≪ a , obtemos:

Δ ≈ 2 π - 2 π 1 + ρ 2 a             ( 1 . 3 )

Assim:

Δ ≈ π ρ a             ( 1 . 4 )

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)