Uma partícula se move em um plano sob a influência de uma força f =   - A r α - 1 direcionada à origem A   e α (>0) ) são constantes. Escolha as coordenadas generalizadas apropriadas e estabeleça a energia potencial como zero na origem. Encontre as equações de movimento de Lagrange. A quantidade de movimento angular sobre a origem é conservada? A energia total é conservada?

Passo 1

Faaaaaala, galera... Tranquileba??

Escolhamos o referencial polar como coordenada generalizada. Fazendo um esboço da situação, temos:

A função lagrangiana é:

L = K - U

A energia cinética do sistema é:

K = 1 2 m   X ' 2 + Y ' 2

Passando para polares, tomando qe r t e θ = θ ( t )

K = 1 2 m   r ' 2 + r 2 θ ' 2

E U, a energia potencial é obtida por:

F = - ∇ U → U = - ∫ f r d r = - ∫ - A r α - 1   d r = A   r α - 1 + 1 α - 1 + 1 = A r α α

Assim o nível 0 da energia potencial, temos:

L = 1 2 m   r ' 2 + r 2 θ ' 2 - A r α α

Bora pro próximo passo?!

Passo 2

Obrigado por vir.

Assim a equação matricial para lagrange temos:

∂ L ∂ θ   - d d t ∂ L ∂ θ ' = 0 ∂ L ∂ r   - d d t ∂ L ∂ r ' = 0

A equação de lagrange então para a coordenada r é:

m r ' ' - m r θ ' 2 + A r α - 1 = 0  

d d t m r 2 θ ' = 0

Passo 3

Sabemos de que m r 2 θ ' = P que o momento angular, provando que o momento angular é conservado. Podemos fazer similar na primeira equação:

m r ' ' - P 2 m r 3 + A r α - 1 = 0

Multiplicando por r ' :

m r ' ' r ' - r ' P 2 m r 3 + A r α - 1 r ' = 0

O que é equivalente a:

d d t 1 2   m   r ' 2 + d d t P 2 2 m r + d d t A α r α = 0

Mas veja que já obtemos m   θ ' 2 r 2 = P 2 2 m r

Assim, vemos que:

d d t 1 2   m   r ' 2 + d d t P 2 2 m r + d d t A α r α = d d t K + U = 0

Provando que a energia total é conservada

Resposta

A energia total é conservada