Uma partícula se move em um plano sob a influência de uma força direcionada à origem e (>0) ) são constantes. Escolha as coordenadas generalizadas apropriadas e estabeleça a energia potencial como zero na origem. Encontre as equações de movimento de Lagrange. A quantidade de movimento angular sobre a origem é conservada? A energia total é conservada?
Passo 1
Faaaaaala, galera... Tranquileba??
Escolhamos o referencial polar como coordenada generalizada. Fazendo um esboço da situação, temos:

A função lagrangiana é:
A energia cinética do sistema é:
Passando para polares, tomando qe e
E U, a energia potencial é obtida por:
Assim o nível 0 da energia potencial, temos:
Bora pro próximo passo?!
Passo 2
Obrigado por vir.
Assim a equação matricial para lagrange temos:
A equação de lagrange então para a coordenada r é:
Passo 3
Sabemos de que que o momento angular, provando que o momento angular é conservado. Podemos fazer similar na primeira equação:
Multiplicando por :
O que é equivalente a:
Mas veja que já obtemos
Assim, vemos que:
Provando que a energia total é conservada
Resposta
A energia total é conservada