Se uma partícula é projetada verticalmente para cima a uma altura de h acima de um ponto na superfície da Terra, em uma latitude λ norte, demonstre que ela toca o solo em um ponto 4 3 ω c o s λ ∙ 8 h 3 / g para a direção oeste. (Despreze a resistência do ar e considere somente alturas verticais pequenas).

Passo 1

E aí pessoal, belezinha? Vamos trabalhar agora em algumas questões de movimento em um sistema de referência não inercial.

A partir do enunciado temos o esquema do problema:

Escolha as coordenadas x, y, z como no diagrama. Então, a velocidade da partícula e a frequência de rotação da Terra são expressas como:

v = 0 ,   0 ,   z ˙   e   ω = - ω cos ⁡ λ ,   0 ,   ω s e n   λ

De modo que a aceleração devido à força de Coriolis é:

a = - 2 ω × r ˙ = 2 ω 0 ,   - z ˙ cos ⁡ λ ,   0

Essa aceleração é direcionada ao longo do eixo y. Assim, à medida que a partícula se move ao longo do eixo z, ela será acelerada ao longo do eixo y:

y ¨ = - 2 ω z ˙ cos ⁡ λ

Agora, a equação de movimento para a partícula ao longo do eixo z é:

z ˙ = v 0 - g t   e   z = v 0 t - 1 2 g t 2

Onde v0 é a velocidade inicial e é igual a 2 g h se o ponto mais alto que a partícula pode atingir é h.

Daí teremos que:

y ˙ = - 2 ω z cos ⁡ λ + c

Usando a condição inicial y ˙ z = 0 = 0 , temos que c = 0. E reescrevemos:

y ˙ = - 2 ω z cos ⁡ λ = - 2 ω v 0 t - 1 2 g t 2 cos ⁡ λ = ω cos ⁡ λ g t 2 - 2 v 0 t

Integrando e usando a condição inicial y(t = 0) = 0, temos que:

y = ω cos ⁡ λ 1 3 g t 3 - v 0 t 2

O instante em que a partícula atinge o solo (z = 0) é:

v 0 t - 1 2 g t 2 = 0 = > v 0 - 1 2 g t = 0 = > t = 2 v 0 g

Substituindo em y, teremos que:

y = ω cos ⁡ λ 1 3 g 2 v 0 g 3 - v 0 2 v 0 g 2 = ω cos ⁡ λ 8 v 0 3 3 g 2 - 4 v 0 3 g 2 = - 4 v 0 3 3 g 2 ω cos ⁡ λ

Substituindo v 0   p o r   2 g h   o b t e m o s :

y = - 4 2 g h 3 3 g 2 ω cos ⁡ λ = - 4 3 ω c o s λ 8 h 3 g  

O sinal negativo do deslocamento mostra que a partícula está deslocada para oeste.

Resposta

Ver passo a passo.