Uma partícula tem o movimento restrito (sem fricção) em um fio circular que gira com velocidade angular constante ar sobre um diâmetro vertical. Encontre a posição de equilíbrio da partícula e calcule a frequência de oscilações pequenas sobre sua posição. Encontre e interprete fisicamente uma velocidade angular crítica que divide o movimento da partícula em dois tipos distintos. Construa diagramas de fase para os dois casos e
Passo 1
Faaaaaala, galera... Tranquileba??
Fazendo um esboço da situação, temos:

E a lagrangiana para o sistema é:
Assim:
Onde temos como única coordenada variável do movimento é .
A equação do movimento desta lagrangiana é:
Assim:
Bora pro próximo passo?!
Passo 2
Obrigado por vir.
As posições de equilíbrios são achadas ao acharmos os valores de no qual:
Note então que e são duas das posições de equilíbrio, e a terceira é:
Para vermos a estabilidade de cada um desses, expandamos usando
Agora vamos aplicas as nossas posições de equilíbrio.
Primeiro, para
Depois, para :
O que é estável se e instável se . Quando é instável, a frequência de pequenas oscilações é
E para o ultimo:
Com uma frequência de oscilações de quando existir.
Definamos uma frequência critica nós temos um equilíbrio estável em quando e equilíbrio estável em
Quando As frequências de pequenas oscilações são então:
E:
Passo 3
Para construirmos o diagrama de fase, precisamos da Hamiltoniana
Definamos um parâmetro conveniente que descreve a trajetória para um valor particular de H é:
Assim, podemos plotar:
O diagrama de fase para e está, respectivamente, mostrado abaixo.
Para

Para

Resposta
Para

Para
