Uma partícula tem o movimento restrito (sem fricção) em um fio circular que gira com velocidade angular constante ar sobre um diâmetro vertical. Encontre a posição de equilíbrio da partícula e calcule a frequência de oscilações pequenas sobre sua posição. Encontre e interprete fisicamente uma velocidade angular crítica ω = ω c   que divide o movimento da partícula em dois tipos distintos. Construa diagramas de fase para os dois casos ω < ω c e ω > ω c

Passo 1

Faaaaaala, galera... Tranquileba??

Fazendo um esboço da situação, temos:

E a lagrangiana para o sistema é:

T = m R 2 2 θ ' 2 + ω 2 sin 2 ⁡ θ

U = - m g R cos ⁡ θ

Assim:

L = T - U = m R 2 2 θ ' 2 + ω 2 sin 2 ⁡ θ + m g R cos ⁡ θ

Onde temos como única coordenada variável do movimento é θ .

A equação do movimento desta lagrangiana é:

∂ L ∂ θ - d d t ∂ L ∂ θ ' = 0

Assim:

θ ' ' - ω 2 sin ⁡ θ cos ⁡ θ + g R sin ⁡ θ = 0

Bora pro próximo passo?!

Passo 2

Obrigado por vir.

As posições de equilíbrios são achadas ao acharmos os valores de θ no qual:

0 = θ ' ' ​ θ - θ 0 = ω 2 cos ⁡ θ 0 - g R sin ⁡ θ 0

Note então que 0 e π são duas das posições de equilíbrio, e a terceira é:

cos ⁡ θ 0 = g ω 2 R

Para vermos a estabilidade de cada um desses, expandamos usando ϵ = θ - θ 0

ϵ ' ' = ω 2 cos ⁡ θ 0 - g ω 2 R - ϵ sin ⁡ θ 0 sin ⁡ θ 0 + ϵ cos ⁡ θ 0

Agora vamos aplicas as nossas posições de equilíbrio.

Primeiro, para θ 0 = π   :

ϵ ' ' = ω 2 1 + g ω 2 R ϵ

Depois, para θ 0 = 0 :

ϵ ' ' = ω 2 1 - g ω 2 R ϵ

O que é estável se ω 2 < g R e instável se ω 2 > g R . Quando é instável, a frequência de pequenas oscilações é ω 2 - g R

E para o ultimo:

ϵ ' ' = - ω 2 sin 2 ⁡ θ 0   ϵ

Com uma frequência de oscilações de ω 2 - g ω R 2 quando existir.

Definamos uma frequência critica ω _ c   =   g / R   , nós temos um equilíbrio estável em θ _ 0   = 0 quando ω < ω c   e equilíbrio estável em

θ 0   = c o s - 1   ω c 2 c  

Quando ω ≥ ω _ c . As frequências de pequenas oscilações são então:

ω 1 - ω c ω 2

E:

ω 1 - ω c ω 4

Passo 3

Para construirmos o diagrama de fase, precisamos da Hamiltoniana

H = θ ' ∂ L ∂ θ ' - L

Definamos um parâmetro conveniente que descreve a trajetória para um valor particular de H é:

K = H m ω c 2 R 2 = 1 2 θ ' ω c 2 - ω ω c 2 sin 2 ⁡ θ - cos ⁡ θ

Assim, podemos plotar:

θ ' ω c 2 = 2 K + cos ⁡ θ + ω ω c 2 sin 2 ⁡ θ

O diagrama de fase para ω < ω c e ω > ω c   está, respectivamente, mostrado abaixo.

Para ω < ω c

Para ω > ω c

Resposta

Para ω < ω c

Para ω > ω c