As partículas α com maior energia disponíveis para Ernest Rutherford e seus colegas no famoso experimento de espalhamento de Rutherford eram da ordem de 7,7 MeV. Para o espalhamento de partículas α de 7,7 MeV do 238U (inicialmente em repouso) em um ângulo de espalhamento no laboratório de 90⁰ (todos os cálculos são efetuados no sistema LAB, exceto se informado de outra forma), determine:

  1. O parâmetro de impacto b.
  2. A distância da maior aproximação rmin.
  3. A seção transversal diferencial a 90⁰.
  4. A razão entre as probabilidades de espalhamento a 90⁰ e 5⁰.

Passo 1

E aí pessoal, belezinha? Vamos trabalhar agora em algumas questões de dinâmica de um sistema de partículas.

Usando as seguintes definições:

m 1 : m a s s a   d a   p a r t í c u l a   α 1 ;   m 2 : m a s s a   d e   U 238

u 1 ,   u 1 ' : v e l o c i d a d e   d a   p a r t í c u l a   α   n o s   s i s t e m a s   L A B   e   C M   a n t e s   d a   c o l i s ã o

v 1 ,   v 1 ' : v e l o c i d a d e   d a   p a r t í c u l a   α   n o s   s i s t e m a s   L A B   e   C M   a p ó s   a   c o l i s ã o

u 2 ,   u 2 ' : v e l o c i d a d e   d o   U 238   n o s   s i s t e m a s   L A B   e   C M   a n t e s   d a   c o l i s ã o

v 1 ,   v 1 ' : v e l o c i d a d e   d o   U 238   n o s   s i s t e m a s   L A B   e   C M   a p ó s   a   c o l i s ã o

ψ = 90 ° : â n g u l o   a t r a v é s   d o   q u a l   a   p a r t í c u l a   α   é   d e f l e t i d a   e m   L A B

θ :   â n g u l o   a t r a v é s   d o   q u a l   a s   p a r t í c u l a s   α   e   U 238   s ã o   d e f l e t i d a s   e m   C M

ζ :   â n g u l o   d e   r e c u o   d o   U 238   e m   L A B

Do enunciado sabemos que:

u 2 = 0

T 1 = 1 2 m 1 u 1 2 = 7,7   M e V

E também do enunciado temos o esquema do problema:

Item d

O parâmetro de impacto em CM é dado na Seção 9.10.

b = k 2 T 0 ' c o t g θ 2

Onde:

k = q 1 q 2 4 π ε 0   e   T 0 ' = 1 2 m 1 u 1 ' 2 + m 2 u 2 ' 2   é   a   e n e r g i a   t o t a l   n o   s i s t e m a   C M

Daí:

b = q 1 q 2 4 π ε 0 m 1 + m 2 m 1 m 2 u 1 2 c o t g θ 2 ≅ 1,8 ∙ 10 - 4   m

Notamos que b é o parâmetro de impacto da partícula α em relação a CM, então o parâmetro de impacto da partícula α em relação a U 238 é:

m 1 + m 2 b m 2 ≅ 1,83 ∙ 10 - 14   m

Passo 2

Item e

No sistema CM, a equação da órbita da partícula α é:

α r ' = 1 + ε cos ⁡ θ ,   o n d e   θ = 0   c o r r e s p o n d e   a   r = r m i n

= > r m i n ' = α 1 + ε   é   a   d i s t â n c i a   m a i s   p r ó x i m a   d a   p a r t í c u l a   α   a o   c e n t r o   d e   m a s s a ,   e

α = l 2 m 1 k = 4 π ε 0 q 1 q 2 m 1 u 1 ' b 2 m 1

ε = 1 + 2 E l 2 m 1 k = 1 + 2 E 4 π ε 0 q 1 q 2 m 1 u 1 ' b 2 m 1 = 1 + m 1 u 1 ' 4 π ε 0 q 1 q 2 m 1 u 1 ' b 2 m 1

Mas a distância mínima real entre as partículas é:

r m i n = m 1 + m 2 m 2 r m i n ' ≅ 0,93 ∙ 10 - 14   m

Passo 3

Item f

Usando a fórmula:

σ L A B ψ = σ C M θ x c o s   ψ + 1 - x 2 s e n 2   ψ 2 1 - x 2 s e n 2   ψ

Onde:

x = m 1 m 2 ;   ψ = 90 ° ;   σ C M θ = k 2 4 T 0 ' 2 1 s e n 4 θ 2

Encontramos esta seção transversal diferencial em LAB em ψ = 90°:

σ L A B ψ = 90 ° ≅ 3,16 ∙ 10 - 28   m 2

Passo 4

Item g

Como d N N =   σ θ s e n   ψ   d ψ   d ϕ vemos que a razão de probabilidade é:

σ ψ s e n   ψ σ ψ ' s e n   ψ ' = 11,1

Resposta

Ver passo a passo.