Um pêndulo consiste de uma massa m suspensa por uma mola sem massa de comprimento não estendido é b e constante elástica k. Encontre as equações de movimento de Lagrange.

Passo 1

Faaaaaala, galera... Tranquileba??

Fazendo um esboço da situação, temos:

Façamos l uma variável de estiramento da mola, ou seja, quando a mola se esticar, esse estiramento será dado como l , sacou?

Como o esboço já nos supõe, usemos as coordenadas polares. Assim, temos as equações lagragianas:

L = K - U

K = 1 2 m   x ' 2 + y ' 2 → K = 1 2 m   l ' 2 + l 2 θ ' 2

E a energia potencial é composta pela energia potencial gravitacional e elástica, assim:

U = 1 2 k l - b 2 + m g y = 1 2 k l - b 2 - m g   l cos ⁡ θ  

De modo que:

L = 1 2 m   l ' 2 + l 2 θ ' 2 + m g   l cos ⁡ θ - 1 2 k l - b 2  

Bora pro próximo passo?!

Passo 2

Obrigado por vir.

Escrevendo as equações de movimento na matriz lagrangiana:

∂ L ∂ θ   - d d t ∂ L ∂ θ ' = 0 ∂ L ∂ l   - d d t ∂ L ∂ l ' = 0  

Assim:

Para l:

d d t m l ' = m l   θ ' 2 - k l - b + m g cos ⁡ θ

Para θ :

d d t m l 2   θ ' = - m g   l sin ⁡ θ

Passo 3

Do sistema, obtemos as seguintes equações de movimento:

l ' ' - l   θ ' 2 + k m l - b - g cos ⁡ θ = 0

θ ' ' + 2   l '   θ ' + g l sin ⁡ θ = 0

Resposta

l ' ' - l   θ ' 2 + k m l - b - g cos ⁡ θ = 0

θ ' ' + 2   l '   θ ' + g l sin ⁡ θ = 0

Seria difícil resolver esse sistema, né?!