Um pêndulo é construído ao conectar uma massa ?7r a um fio sem extensão de comprimento l. A extremidade superior do fio é conectado no ponto mais superior em um disco vertlcal de raio R R < l π como na Figura 7.B. obtenha a equação de movimento do pêndulo e encontre a frequência Para pequenas oscilações. Encontre a linha sobre a qual o movimento angular se estende igualmente em qualquer direção (isto é θ 1 = θ 2 )

Passo 1

Faaaaaala, galera... Tranquileba??

Faça um esboço do diagrama de posição, temos:

E da figura, temos que:

A C - = l - s = l - R θ

Onde θ é a coordenada generalizada. Em termos de θ , x e y, temos:

x = A C - cos ⁡ θ + R sin ⁡ θ = l - R θ cos ⁡ θ + R sin ⁡ θ

y = R cos ⁡ θ -   A C - sin ⁡ θ = R cos ⁡ θ - l - R θ sin ⁡ θ

Assim:

x ' = R θ θ ' sin ⁡ θ - l θ ' sin ⁡ θ

y ' = R θ θ ' cos ⁡ θ - l θ ' cos ⁡ θ

Bora pro próximo passo?!

Passo 2

Obrigado por vir.

De modo que a lagrangiana é:

L = T - U = 1 2 m x ' 2 + y ' 2 - m g y =

1 2 m l 2 θ ' 2 + R 2 θ 2 θ ' 2 - 2 R l   θ θ ' 2 - m g R cos ⁡ θ - l - R θ sin ⁡ θ

Assim, a equação de movimento para a coordenadas θ     é:

d d t ∂ L ∂ θ ' = ∂ L ∂ θ

De forma que:

l - R θ θ ' ' - R θ ' 2 - g cos ⁡ θ = 0

Passo 3

Agora nós precisamos expandir essa equação diferencial sobre um ângulo θ 0 , instantaneamente próximo ao θ . Definamos ϵ = θ - θ 0 , assim:

ϵ ' ' + g sin ⁡ θ 0 l - R θ 0   ϵ   = g cos ⁡ θ 0 l - R θ 0

Assim fica a conhecida EDO de segunda ordem, onde já sabemos que a solução é do tipo:

ϵ t = A sin ⁡ ( ω t + δ ) + cos ⁡ θ 0 sin ⁡ θ 0

Do qual:

ω = g sin ⁡ θ 0 l - R θ 0

Resposta

ω = g sin ⁡ θ 0 l - R θ 0