Um pêndulo duplo consiste de dois pêndulos simples, com um pêndulo suspenso do peso clo outro. Se dois pêndulos tiverem comprimentos iguais e pesos de massa igual, e se ambos estiverem com movimentos restritos no mesmo plano, encontre as equações de movimento de Lagrange para o sistema. Náo pressuponha ângulos pequenos.

Passo 1

Faaaaaala, galera... Tranquileba??

Tiremos as sandálias de nossos pés, porque vamos ver a beleza do método Lagrangiano em ação.

Primeiro, vamos visualizar o dito:

As coordenadas para o primeiro pendulo, como já sabemos é:

x 1 = r cos ⁡ θ 1

y 1 = r sin ⁡ θ 1

E para o segundo, o qual depende do primeiro:

x 2 = r cos ⁡ θ 1 +   r cos ⁡ θ 2

y = r sin ⁡ θ 1 + r sin  ⁡ θ 2  

Sendo r o comprimento do fio.

E escrevendo a função Lagrangiana, temos:

L = K - U

Vamos assumir a coordenadas generalizadas cartesianas, de forma a facilitar. Assim:

K = 1 2 m   X ' 1 2 + Y ' 1 2 + 1 2 m   X ' 2 2 + Y ' 2 2

Bora pro próximo passo?!

Passo 2

Obrigado por vir.

Agora vamos substituir.

Temos:

K = m 2   r 2 θ ' 1 2 + θ ' 1 2 + θ ' 2 2 + 2   θ 1 ' θ 2 ' sin ⁡ θ 1 sin ⁡ θ 2 + cos ⁡ θ 1 cos ⁡ θ 2 =

m 2   r 2 2 θ ' 1 2 + θ ' 2 2 + 2   θ 1 ' θ 2 ' cos ⁡ ( θ 1 - θ 2 ]  

E para U:

U = - m g x 1 - m g x 2 = - m g   r 2 cos ⁡ θ 1 + cos ⁡ θ 2

Assim:

L = K - U = m 2   r 2 2 θ ' 1 2 + θ ' 2 2 + 2   θ 1 ' θ 2 ' cos ⁡ ( θ 1 - θ 2 ] + m g   r 2 cos ⁡ θ 1 + cos ⁡ θ 2  

+

Passo 3

Assim a equação matricial para lagrange temos:

∂ L ∂ θ 1   - d d t ∂ L ∂ θ 1 ' = 0 ∂ L ∂   θ 2   - d d t ∂ L ∂ θ 2   ' = 0

Onde:

∂ L ∂ θ 1 = m r 2   θ 1 '   θ 2 ' sin ⁡ θ 1 - θ 2 - 2 m g   r sin ⁡ θ 1

∂ L ∂ θ 1 ' = 2 m r 2   θ 1 ' + m r 2   θ 2 ' cos ⁡ ( θ 1 - θ 2 )  

∂ L ∂ θ 2 = - m r 2   θ 1 '   θ 2 ' sin ⁡ θ 1 - θ 2 - m g r sin ⁡ θ 2

∂ L ∂ θ 2 ' = m r 2   θ 2 ' + m r 2   θ 1 '   cos ⁡ ( θ 1 - θ 2 )  

Assim a equação matricial fica:

2 θ 1 + θ 2 ' ' cos ⁡ ( θ 1 - θ 2 ) +   θ 2 ' 2   sin ⁡ θ 1 - θ 2 + 2 g l sin ⁡ θ 1 = 0

θ 2 ' ' + θ 1 ' '   cos ⁡ ( θ 1 - θ 2 ) - θ 1 ' 2 sin ⁡ θ 1 - θ 2 + g l sin ⁡ θ 2 = 0

Resposta

2 θ 1 + θ 2 ' ' cos ⁡ ( θ 1 - θ 2 ) +   θ 2 ' 2   sin ⁡ θ 1 - θ 2 + 2 g l sin ⁡ θ 1 = 0

θ 2 ' ' + θ 1 ' '   cos ⁡ ( θ 1 - θ 2 ) - θ 1 ' 2 sin ⁡ θ 1 - θ 2 + g l sin ⁡ θ 2 = 0