Enunciado

Um pêndulo se encontra suspenso na cúspide de uma cicloide em um suporte rígido (Figura 3.4). O caminho descrito pelo prumo do pêndulo é cicloidal e fornecido por

x = a φ - s e n φ   e   y = a ( cos ⁡ φ - 1 )

Onde o comprimento do pêndulo é l = 4 a e onde φ é o ângulo de rotação do círculo gerador da cicloide. Demonstre que as oscilações são exatamente isócronas com frequência ω 0 = g l independente da amplitude.

Passo 1

E aí pessoal, belezinha? Vamos trabalhar agora em algumas questões de oscilações.

A força responsável pelo movimento do pêndulo é a componente da força gravitacional em m que atua perpendicularmente à parte reta do fio de suspensão. Este componente é visto, na figura abaixo a, como sendo:

F = m a = m v ˙ = - m g c o s   α

Onde α é o ângulo entre a vertical e a tangente à trajetória cicloidal na posição de m. O cosseno de α é expresso em termos dos diferenciais mostrados na figura b como:

cos ⁡ α = d y d s ,   c o m   d s = d x 2 + d y 2

Os diferenciais, dx e dy, podem ser calculados a partir das equações definidoras para x( φ ) e y( φ ) acima:

x = a φ - s e n φ = > d x d φ = a - acos ⁡ φ = a 1 - cos ⁡ φ = > d x = a 1 - cos ⁡ φ d φ

y = a cos ⁡ φ - 1 = > d y d φ = - a s e n   φ = > d y = - a s e n   φ   d φ

Logo:

d s 2 = a 1 - cos ⁡ φ d φ 2 + - a s e n   φ   d φ 2 = a 2 1 - 2 cos ⁡ φ + cos 2 ⁡ φ + s e n 2 φ d φ 2 =

= a 2 1 - 2 cos ⁡ φ + 1 d φ 2 = a 2 2 - 2 cos ⁡ φ d φ 2 = 2 a 2 1 - cos ⁡ φ d φ 2 =

= 2 a 2 ∙ 2 s e n 2 φ 2 d φ 2 = 4 a 2 s e n 2 φ 2 d φ 2 = > d s = 2 a s e n φ 2 d φ

Daí, temos que:

d y d s = - a s e n   φ   d φ 2 a s e n φ 2 d φ = - 1 s e n   φ 2 s e n φ 2 = - cos ⁡ φ 2 = cos ⁡ α

A velocidade do pêndulo é:

v = d s d t = 2 a s e n φ 2 d φ d t = - 4 a d d t cos ⁡ φ 2 = > v ˙ = - 4 a d 2 d t 2 cos ⁡ φ 2

Sendo z = cos ⁡ φ 2 a nova variável, reescrevemos como:

- 4 a z ¨ = g z = > z ¨ + g 4 a z = 0

Que é a equação padrão para o movimento harmônico simples:

z ¨ + ω 0 2 z = 0

Logo, ao compararmos, temos que:

ω 0 2 = g 4 a

E como 4a = l, teremos que:

ω 0 = g l

Assim, o movimento é exatamente isócrono, independente da amplitude das oscilações. Este fato foi descoberto por Christian Huygene (1673).

Resposta

Ver passo a passo.