um pêndulo esférico consiste de um peso de massa m conectado a uma barra sem peso, sem extensão, de comprimento l. A extremidade da barra oposta ao peso faz o pivô livremente (em todas as direções) sobre algum ponto fixo. Estabeleça a função hamiltoniana em coordenadas esféricas. (Se p ϕ = 0 o resultado é o mesmo que o do pêndulo plano.) Combine o termo que deperde de p ϕ com o termo de energia potencial comum para definir como potencial efetivo V θ ,   p ϕ . Represente v como uma função de θ para valores diversos de p ϕ , incluindo p ϕ = 0 . . Discuta as características do movimento, apontando as diferenças entre p ϕ = 0 e p ϕ ≠ 0 . Discuta o caso limite do pêndulo cônico ( θ = constante) em relação ao diagrama V - θ .

Passo 1

Faaaaaala, galera... Tranquileba??

Fazendo um esboço da situação dita no enunciado, temos:

Não se esqueça de que há a energia cinética de rotação, e nõ nos diz se há a esfera está rolando, logo é somente a energia cinética de rotação. Façamos a energia cinética do pendulo esférico:

T = 1 2 I 1 ϕ ' 2 + 1 2 I 2   θ ' 2 = 1 2 m l 2 ϕ ' 2 sin 2 ⁡ θ + θ ' 2

E a energia potencial é:

U = m g l cos ⁡ θ

Assim a lagrangiana é:

L = T - U = 1 2 m l ϕ ' 2 sin 2 ⁡ θ + θ ' 2 - m g l cos ⁡ θ

Bora pro próximo passo?!

Passo 2

Obrigado por vir.

Escrevamos os momentos canônicos, então:

p θ = ∂ L ∂   θ ' = m l 2   θ '

p ϕ = m l 2 ϕ ' sin 2 ⁡ θ

Assim a hamiltoniana é:

H = T + U = p θ θ ' + p ϕ ϕ ' - 1 2 m l ϕ ' 2 sin 2 ⁡ θ + θ ' 2 + m g l cos ⁡ θ = p θ 2 2 m l 2 + V θ , p θ

Onde :

V θ , p θ = p θ 2 2 m l 2 sin 2 ⁡ θ + m g l cos ⁡ θ

Passo 3

Veja que para p θ = 0 → V θ , 0 = m g l cos ⁡ θ é finito e máximo quando θ = 0 , que é o topo da esfera, e minim quando θ = π , parte inferior da esfera. Para valores diferentes de p θ , o gráfico de V - θ tem a seguinte aparência.

Quando p θ > 0 o pendulo nunca alcança θ = 0 ou θ = π por causa da dependência de seno na primeira parte, por isto V é finito nesse pontos

Resposta

V θ , p θ = p θ 2 2 m l 2 sin 2 ⁡ θ + m g l cos ⁡ θ

E a discussão se encontra no passo 3 da resolução.