Um pêndulo simples de comprimento b e peso com massa m é conectado a um suporte sem massa horizontalmente, com aceleração constante a. Determine (a) as equações de movimento e (b) o período para oscilações pequenas

Passo 1

Faaaaaala, galera... Tranquileba??

Fazendo um esboço da situação, temos:

Assim, temos as coordenadas:

x = 1 2 a   t 2 - b sin ⁡ θ    

y =   - b cos ⁡ θ

x ' = a t - b   θ ' cos ⁡ θ

y ' = b   θ ' sin ⁡ θ

De forma que a lagragiana fica:

L = T - U = m 2 x ' 2 + y ' 2 - m g y =

m 2 a 2 t 2 - 2 a t   b   θ ' cos ⁡ θ + b 2 θ ' 2 + m g   b cos ⁡ θ

Bora pro próximo passo?!

Passo 2

Obrigado por vir.

Como temos como única coordenada espacial o θ , a equação de movimento:

d d t ∂ L ∂ θ ' = ∂ L ∂ θ

d d t - m a b   t cos ⁡ θ + m b 2 θ ' = m a t   b   θ ' ' sin ⁡ θ - m g b sin ⁡ θ ]

E assim temos a equação de movimento:

θ ' ' + g b sin ⁡ θ - a b cos ⁡ θ = 0

Passo 3

Para acharmoso período para pequenas oscilações , devemos expandir sin ⁡ θ   e cos ⁡ θ no ponto de equilíbrio θ 0 . Achamos θ 0 ao estabelecer θ ' ' = 0 , assim:

0 + g b sin ⁡ θ - a b cos ⁡ θ = 0 → g sin ⁡ θ 0 = a cos ⁡ θ 0

De forma que:

tan ⁡ θ 0 = a g

Aplicando a expansão de Taylor:

f θ = f θ 0 + f ' θ θ -   θ 0 θ - θ 0

sin ⁡ θ = sin ⁡ θ 0 + θ - θ 0 cos ⁡ θ 0

cos ⁡ θ = cos ⁡ θ 0 - θ - θ 0 sin ⁡ θ 0

Mas tan ⁡ θ 0 = a g   implica que sin ⁡ θ 0 = a a 2 + g 2 e cos ⁡ θ 0 = g a 2 + g 2     de forma que:

sin ⁡ θ = 1 a 2 + g 2 a + g   θ - g   θ 0

cos ⁡ θ = 1 a 2 + g 2 g - a   θ + a   θ 0

Substituindo na equação de movimento, temos:

0 = θ ' ' + g b a 2 + g 2 a + g θ - g θ 0 - 1 b a 2 + g 2 g - a θ + a θ 0 =

θ ' ' + a 2 + g 2 b   θ = a 2 + g 2 b   θ 0

A solução pra essa equação diferencial inomogênea:

θ = θ 0 + A cos ⁡ ω θ + B sin ⁡ ω θ

Onde:

ω = a 2 + g 2 1 4 b 1 2  

Assim:

T = 2 π   b 1 2 a 2 + g 2 1 4

Resposta

Para a)

θ ' ' + g b sin ⁡ θ - a b cos ⁡ θ = 0

Para b)

T = 2 π   b 1 2 a 2 + g 2 1 4