Um pêndulo simples de comprimento ó e peso com massa m é conectado a um suporte sem massa movendo-se verticalmente para cima, com aceleração constante a. Determine (a) as equações ce movimento e (b) o período para oscilações pequenas.

Passo 1

Faaaaaala, galera... Tranquileba??

Fazendo um esboço da situação, temos:

De onde obtemos as equações:

x = b sin ⁡ θ

y = 1 2   a   t 2 - b cos ⁡ θ

Assim:

x ' = b   θ ' cos ⁡ θ

y ' = a t + b   θ ' sin ⁡ θ

Assim, podemos escrever a função lagrangiana:

L = K - U = 1 2 m   x ' 2 + y ' 2 - U = m 2 b 2   θ ' 2 + a 2 t 2 + 2   a   b   t   θ ' sin ⁡ θ - m g   1 2   a   t 2 - b cos ⁡ θ

Bora pro próximo passo?!

Passo 2

Obrigado por vir.

Escrevendo a lagrangiana:

∂ L ∂ θ   - d d t ∂ L ∂ θ ' = 0

Assim:

d d t b 2   θ ' + m   a   b   t sin ⁡ θ = m a b t   θ ' cos ⁡ θ - m g b sin ⁡ θ

b 2   θ ' ' + a b sin ⁡ θ + a b t   θ ' cos ⁡ θ = a b t   θ ' cos ⁡ θ - g b sin ⁡ θ

De onde obtemos:

θ ' ' + a + g b sin ⁡ θ   = 0

Passo 3

Para pequenas oscilações sin ⁡ θ ≈ θ

θ ' ' + a + g b θ = 0

De onde:

a + g b =   ω 2

Assim:

θ ' ' + ω 2 θ = 0

E o período logo é:

T = 2 π ω = 2 π b a + g

Resposta

Equação de movimento:

θ ' ' + ω 2 θ = 0

Período:

T = 2 π b a + g