Um pêndulo simples consiste em uma cabeça de massa m suspensa por um fio inextensível (e sem massa) de comprimento l. Da cabeça deste pêndulo, um segundo pêndulo idêntico é suspenso. Considere o caso das oscilações pequenas (para que sen θ θ) e calcule as frequências características. Descreva também os modos normais do sistema (consulte o Problema 7.7).

Passo 1

E aí pessoal, belezinha? Vamos trabalhar agora em algumas questões de oscilações acopladas.

As energias cinética e potencial para o pêndulo duplo são dadas no Problema 7-7. Se usarmos esses resultados para o caso de pequenas oscilações, teremos:

T = 1 2 m l 2 2 ϕ ˙ 1 2 + ϕ ˙ 2 2 + 2 ϕ ˙ 1 ϕ ˙ 2   e   U = 1 2 m g l 2 ϕ 1 2 + ϕ 2 2

onde φ1 refere-se ao deslocamento angular do pêndulo superior e φ2 ao pêndulo inferior, como no Problema 7-7. (Também descartamos o termo constante na expressão para a energia potencial).

Agora, de acordo com as Eq. (12.34):

T = 1 2 ∑ j , k m j k q ˙ j q ˙ k   e   U = 1 2 ∑ j , k A j k q j q k

Portanto, identificando os elementos de {m} e {A}, encontramos:

m = m l 2 2 1 1 1   e   A = m g l 2 0 0 1

Que nos dá:

2 g l - 2 ω 2 - ω 2 - ω 2 g l - ω 2 = 0 = > 2 g l - 2 ω 2 g l - ω 2 - ω 4 = 0

Expandindo, encontramos:

ω 4 - 4 g l ω 2 + 2 g l 2 = 0

Que rende:

ω 2 = 2 ± 2 g l

E as frequências próprias são:

ω 1 = 2 + 2   g l = 1,848 g l   e   ω 2 = 2 - 2   g l = 0 , 765 g l

Para obter os modos normais, devemos resolver:

∑ j A j k - ω r 2 m j k a j r = 0

Para k = 1, isso se torna:

A 11 - ω r 2 m 11 a 1 r + A 2 1 - ω r 2 m 2 1 a 2 r = 0

Para r = 1:

2 m g l - 2 + 2 g l   2 m l 2 a 1 1 - 2 + 2 g l   m l 2 a 2 1 = 0

Ao simplificar, o resultado é:

a 21 = - 2 a 11

Da mesma forma, para r = 2, o resultado é:

a 22 = 2 a 12

As equações:

x 1 = a 11 η 1 + a 1 2 η 2   e   x 2 = a 2 1 η 1 + a 2 2 η 2

Que podem ser reescritas como:

x 1 = a 11 η 1 + 1 2 a 2 2 η 2   e   x 2 = - 2 a 11 η 1 + a 22 η 2

Resolvendo para η1 e η2:

η 1 = 2 x 1 - x 2 2 2 a 11   e   η 2 = 2 x 1 + x 2 2 a 22

Sendo que:

η 1   o c o r r e   q u a n d o   η 2 = 0 ,   o u   s e j a ,   q u a n d o   x 1 = - x 2 2

E:

η 2   o c o r r e   q u a n d o   η 1 = 0 ,   o u   s e j a ,   q u a n d o   x 1 = x 2 2

O modo 2 é, portanto, o modo simétrico em que ambos os pêndulos são sempre defletidos na mesma direção; e o Modo 1 é o modo antissimétrico em que os pêndulos são sempre defletidos em direções opostas. Observe que o Modo 1 (o modo antissimétrico) tem a frequência mais alta, de acordo com a discussão na Seção 12.2.

Resposta

Ver passo a passo.