Um pêndulo simples consiste em uma cabeça de massa m suspensa por um fio inextensível (e sem massa) de comprimento l. Da cabeça deste pêndulo, um segundo pêndulo idêntico é suspenso. Considere o caso das oscilações pequenas (para que sen θ θ) e calcule as frequências características. Descreva também os modos normais do sistema (consulte o Problema 7.7).
Passo 1
E aí pessoal, belezinha? Vamos trabalhar agora em algumas questões de oscilações acopladas.
As energias cinética e potencial para o pêndulo duplo são dadas no Problema 7-7. Se usarmos esses resultados para o caso de pequenas oscilações, teremos:
onde φ1 refere-se ao deslocamento angular do pêndulo superior e φ2 ao pêndulo inferior, como no Problema 7-7. (Também descartamos o termo constante na expressão para a energia potencial).
Agora, de acordo com as Eq. (12.34):
Portanto, identificando os elementos de {m} e {A}, encontramos:
Que nos dá:
Expandindo, encontramos:
Que rende:
E as frequências próprias são:
Para obter os modos normais, devemos resolver:
Para k = 1, isso se torna:
Para r = 1:
Ao simplificar, o resultado é:
Da mesma forma, para r = 2, o resultado é:
As equações:
Que podem ser reescritas como:
Resolvendo para η1 e η2:
Sendo que:
E:
O modo 2 é, portanto, o modo simétrico em que ambos os pêndulos são sempre defletidos na mesma direção; e o Modo 1 é o modo antissimétrico em que os pêndulos são sempre defletidos em direções opostas. Observe que o Modo 1 (o modo antissimétrico) tem a frequência mais alta, de acordo com a discussão na Seção 12.2.
Resposta
Ver passo a passo.