Um pêndulo simples consiste de uma massa m suspensa a partir de um ponto fixo por uma haste de peso e extensão desprezíveis de comprimento l . Obtenha a equação de movimento e, na aproximação onde sin ⁡ θ ≅ θ , demonstre que a frequência natural ω 0 = g l , onde g é a intensidade do campo gravitacional. Discuta o movimento no caso de ele ocorrer em um meio viscoso com força de retardo 2 m θ ˙ g l

Passo 1

Fala povo, essa questão tá tranquila em, tem muito estresse com ela não, vamos pra cima.

Para um pêndulo simples, temos a seguinte equação de movimento:

- m l θ ¨ = m g sin ⁡ θ     →       θ ¨ = - g l θ

Então agora que já sabemos que para um pêndulo simples a frequência de oscilação é dada por ω 0 = g / l

E a equação de movimento é da forma θ t = θ 0 cos ⁡ ω 0 t

Façamos para o pêndulo com força de retardo.

Passo 2

Já para quando tivermos uma força viscosa, devemos achar a equação do movimento:

- m l θ ¨ = m g sin ⁡ θ + 2 m θ ˙ g / l

Fazemos sin ⁡ θ ≅ θ :

    θ ¨ + 2 ω 0 θ ˙ + ω 0 2 θ = 0

x ¨ + 2 β x ˙ + ω 0 2 x = 0

E a solução dessa equação diferencial é da forma:

θ t = θ 0 1 + ω 0 t e - ω 0 t

Resposta

ω 0 = g / l

θ t = θ 0 1 + ω 0 t e - ω 0 t