Enunciado

A pilastra de alvenaria está sujeita à carga de 800 kN. Se x = 0,25 m e y = 0,5 m, determine a tensão normal em cada canto A, B, C, D (não mostrado na figura) e trace a distribuição da tensão na seção transversal. Despreze o peso da pilastra.

Passo 1

Oi oi, meu xuxuzinho!! Tudo bem com você?? Vamos analisar o que a nossa questão nos pede e matar essa em 10 minutos?? Bora. Bom, nosso enunciado nos diz que essa pilastra recebe uma carga conforme tá na figurinha.

Ele pede a tensão normal nos quatro cantos da seção transversal da pilastra. A tensão normal pode ser causada por esforço normal por momentos. Vamos começar achando esses esforços para nossa seção.

A gente vê que tem uma força na direção axial da nossa pilastra, normal a nossa seção. Então ela causa um esforço normal na viga:

  N z = 800   k N  

Vemos também que essa força não está localizada na coordenada do centroide nem para x nem para y . Isso significa que a força causa momento em relação a esses dois eixos:

  M x = F × y F = 800   x   0,5 = 400   k N . m  

M y = F × x F = 800   x   0,25 = 200   k N . m

Aí agora o que a gente precisa é calcular as tensões normais causadas por esses esforços. Bora!

Passo 2

Vamos calcular algumas propriedades geométricas da nossa seção:

A = 3 5,5

I x = b h 3 12 = 3 5.5 3 2

I y = h 3 b 12 = 3 3 5,5 12

E as coordenadas dos nossos pontos:

x a = - 1,5   m ,   y a = - 2,25   m  

x b = 1,5   m ,   y b = - 2,25   m

x d = - 1,5   m ,   y d = 2,25   m

x c = 1,5   m ,   y c = 2,25   m

Passo 3

Aí vamos montar uma equação para tensão que sirva para todos os nossos pontos de acordo com a coordenada deles. Isso vai agilizar nossas continhas.

Vemos que N z causa compressão, então ela entra na nossa fórmulinha como uma tensão negativa dada por

σ 1 = - F A

E o momento? Cara, o segredo aqui é ver pela figura que tipo de tensão os nossos momentos geram no primeiro quadrante, porque nele as coordenadas são positivas, não influenciam no sinal da tensão causada.

Esse é o M y . Ele causa compressão acima de x , logo no primeiro quadrante ele causa compressão. A tensão causada por ele deve ter sinal negativo. E tem essa carinha:

σ 2 = - M y x I x

Vamos olhar M x :

Ele também causa compressão no primeiro quadrante. Então fica com sinal negativo também.

σ 3 = - M x y I y

Nossa fórmulinha geral fica:

σ = - F A - M y x I x - M x y I y

Passo 4

Agora que já temos todo o necessário para calcular nossas tensões, por que vamos esperar?? Só bora comigo.

σ a =   - N A -   M x   y a I -   M y   x a I   = -   800   x   10 3 3   x   4,5 - 400   x   10 3 x   - 2,25 3   x   4,5 3 12 -   200   x   10 3 x   ( - 1,5 ) 4,5   x   3 3 12 = 9,88   k P a

σ b =   - N A -   M x   y b I -   M y   x b I   = -   800   x   10 3 3   x   4,5 - 400   x   10 3 x ( - 2,25 )   3   x   4,5 3 12 -   200   x   10 3 x   1,5 4,5   x   3 3 12 = - 49,4   k P a

σ c =   - N A -   M x   y a c I -   M y   x c I   = -   800   x   10 3 3   x   4,5 - 400   x   10 3 x   2,25   3   x   4,5 3 12 -   200   x   10 3 x   1,5 4,5   x   3 3 12 = - 128   k P a

σ d =   - N A -   M x   y d I -   M y   x d I   = -   800   x   10 3 3   x   4,5 - 400   x   10 3 x   2,25   3   x   4,5 3 12 -   200   x   10 3 x   ( - 1,5 ) 4,5   x   3 3 12 = - 69,1   k P a

Resposta

σ a =   9,88   k P a

σ b =   - 49,4   k P a

σ c =   - 128   k P a

σ d =   - 69,1   k P a

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