Um piloto de corrida tipo dragster dirige um carro com aceleração a e velocidade instantânea v. Os pneus (de raio r0) não estão derrapando. Determine qual ponto sobre o pneu tem a maior aceleração em relação à pista. Qual é essa aceleração?

Passo 1

E aí pessoal, belezinha? Vamos trabalhar agora em algumas questões de movimento em um sistema de referência não inercial.

A partir do enunciado temos o esquema do problema:

O quadro fixo é o solo.

O quadro rotativo tem origem no centro do pneu e é o quadro no qual o pneu está em repouso. Das Eqs. (10,24), (10,25):

a f = R ¨ f + a r + ω ˙ × r + ω × ω × r + 2 ω × v r

Agora temos:

R ¨ f = - acos ⁡ θ i + a s e n   θ j ; r = r 0 i ;   v r = a r = 0 ;   ω = v r 0 k ; ω ˙ = a r 0 k

Com algumas substituições temos que:

a f = - acos ⁡ θ i + a s e n   θ j + a j - v 2 r 0 i = - i v 2 r 0 + acos ⁡ θ + j 1 + s e n   θ a

Queremos maximizar a f , ou, alternativamente, maximizamos a f 2 :

a f 2 = v 4 r 0 2 + a 2 cos 2 ⁡ θ + 2 a v 2 r 0 cos ⁡ θ + a 2 + 2 a 2 s e n θ + a 2 s e n 2 θ =

= v 4 r 0 2 + 2 a 2 + 2 a v 2 r 0 cos ⁡ θ + 2 a 2 s e n θ

= > d a f 2 d θ = - 2 a v 2 r 0 cos ⁡ θ + 2 a 2 cos ⁡ θ = 0   q u a n d o   t g   θ = a r 0 v 2

(Tomar uma segunda derivada mostra que este ponto é um máximo).

= > cos ⁡ θ = v 2 a 2 r 0 2 + v 4   e   s e n   θ = a r 0 a 2 r 0 2 + v 4

Substituindo obtemos:

a f = - i v 2 r 0 + a v 2 a 2 r 0 2 + v 4 + j 1 + a r 0 a 2 r 0 2 + v 4 a

= > a f = a + a 2 + v 4 r 0 2

Esta é a aceleração máxima. O ponto que experimenta esta aceleração está em A:

Onde t g   θ = a r 0 v 2 .

Resposta

Ver passo a passo.