O ponto de suporte de um pêndulo simples de massa m e comprimento b é acionado horizontalmente por x = a sin ⁡ ω t . Encontre a equação de movimento do pêndulo.

Passo 1

Faaaaaala, galera... Tranquileba??

é um exercício similar ao problema 13.

Fazendo um esboço da situação, temos:

De onde temos as coordenadas:

x = a sin ⁡ ω t + b sin ⁡ θ

y =   - b cos ⁡ θ

x ' = a   ω cos ⁡ ω t +     b   θ ' cos ⁡ θ

y ' = b θ ' sin ⁡ θ

De forma que a lagrangiana é:

L = T - U = m 2 x ' 2 + y ' 2 - m g y

L = m 2 a 2 ω 2 cos 2 ⁡ ω t + 2 a b   ω θ ' cos ⁡ ω t   cos ⁡ θ + b 2 θ ' 2 + m g   b cos ⁡ θ

Bora pro próximo passo?!

Passo 2

Obrigado por vir.

Como temos como única coordenada espacial o θ , a equação de movimento:

d d t ∂ L ∂ θ ' = ∂ L ∂ θ

d d t m a b ω cos ⁡ ω t cos ⁡ θ + m b 2   θ ' =   - m a b ω θ ' cos ⁡ ω t sin ⁡ θ - m g   b sin ⁡ θ

Assim ficando do lado esquerdo (já dividindo por m)

- a b ω 2 sin ⁡ ω t cos ⁡ θ - a b ω   θ ' cos ⁡ ω t sin ⁡ θ + b 2 θ ' ' = - a b ω θ ' cos ⁡ ω t sin ⁡ θ - g   b sin ⁡ θ

Passo 3

De onde obtemos:

θ ' ' + g b sin ⁡ θ -   a b   ω 2 sin ⁡ ω t cos ⁡ θ = 0

Resposta

θ ' ' + g b sin ⁡ θ -   a b   ω 2 sin ⁡ ω t cos ⁡ θ = 0