Enunciado

Um prisma retangular de madeira com densidade ρ ω , altura h e seção transversal a × b é inicialmente comprimido dentro de uma cuba de óleo e vibra livremente no sentido vertical (Figura 2.90 ). Use o método de Rayleigh para determinar a frequência natural de vibração do prisma. Considere que a densidade do óleo é ρ 0 . Se o prisma retangular for substituído por um cilindro circular uniforme de raio r , altura h e densidade ρ ω , ocorrerá alguma alteração na frequência natural?

Passo 1

Queremos a frequência natural de vibração do prisma pelo método de Rayleigh.

Vamos calcular a força F de restauração do óleo quando o prisma é deslocado x do equilíbrio:

F = ρ 0 V g

Temos que:

V = a b x

Logo:

F = ρ 0 g a b x

Temos que a equação de movimento para o sistema é da seguinte forma:

m x ¨ + F = 0

Substituindo m por ρ ω a b h , temos que:

ρ ω a b h x ¨ + ρ 0 g a b x

Passo 2

Sabemos que a forma generalizada da equação de movimento para o sistema é dada por:

x ¨ + ω n 2 x = 0

Portanto, rearranjando a equação que temos, podemos dizer que:

x ¨ + ρ 0 g a b x ρ ω a b h = 0

x ¨ + ρ 0 g ρ ω h x = 0

Portanto:

ω n 2 = ρ 0 g ρ ω h

ω n = ρ 0 g ρ ω h

Resposta

ω n = ρ 0 g ρ ω h

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