No Prob. 10.61, determine três valores de θ , correspondentes ao equilíbrio quando P = 30   N ,   k = 200   N / m     e     I = 0.500 m . Estabeleça em cada caso se o equilíbrio é estável, instável, ou indiferente.

Passo 1

Boraaa galerinha, aniimaaa, vamos resolver mais um!!

Só bora então!!

A figura mostra várias forças atuando na articulação

Passo 2

Considerando o eixo C e a coordenada do ponto são

A 0 , - l s i n   θ

B l c o s θ , 0

C 0,0

D 1 2 l c o s θ ,   - 1 2 l s i n   θ

Iremos encontrar o pequeno deslocamento vertical do bloco A

y A = l s i n   θ

Da mesma forma, um pequeno deslocamento horizontal do bloco B

x B = l c o s   θ

Encontraremos o deslocamento vertical do ponto D usando

y D = - 1 2 l sin ⁡ θ

O alongamento da mola é

δ = y A + x B - l

= l s i n   θ + l c o s θ - l

= l ( sin ⁡ θ + cos ⁡ θ - 1 )

Uma vez que a componente horizontal de A , C e a componente vertical de B não realizam nenhum trabalho . Pelo principio do trabalho virtual, a energia potencial é

V = W y D + k δ 2

V = W ∂ y D + k δ 2

= - W × - 1 2 l s i n   θ + k [ l ( sin ⁡ θ + cos ⁡ θ - 1 ) ] 2

= ( - 30 × - 1 2 × 0.5 × sin ⁡ θ ) + 200 0.5 sin ⁡ θ + cos ⁡ θ - 1 2

= - 7.5 sin ⁡ θ + 50 sin ⁡ θ + cos ⁡ θ - 1 2

Passo 3

Encontrando a primeira derivada da equação

d V d θ = d d θ - 7.5 sin ⁡ θ + 50 sin ⁡ θ + cos ⁡ θ - 1 2

= ( - 7.5 cos ⁡ θ ) + 100 cos ⁡ θ - sin ⁡ θ [ sin ⁡ θ + cos ⁡ θ - 1 ]

Encontrando a segunda derivada

d 2 V d θ 2 = d d θ ( - 7.5 cos ⁡ θ ) + 100 cos ⁡ θ - sin ⁡ θ [ sin ⁡ θ + cos ⁡ θ - 1 ]

= cos ⁡ θ 100 - 400 sin ⁡ θ + 107.5 sin ⁡ θ

Para encontrar o substituto de equilíbrio,

d V d θ = ( - 7.5 cos ⁡ θ ) + 100 cos ⁡ θ - sin ⁡ θ [ sin ⁡ θ + cos ⁡ θ - 1 ]

0 = ( - 7.5 cos ⁡ θ ) + 100 cos ⁡ θ - sin ⁡ θ [ sin ⁡ θ + cos ⁡ θ - 1 ]

0 = { - 7.5 + 100 [ 1 - tan ⁡ θ ] sin ⁡ θ + cos ⁡ θ - 1 } cos ⁡ θ

Existe dois casos de resolução

cos ⁡ θ = 0

θ = 90 °

E o segundo caso da solução é

( - 7.5 cos ⁡ θ ) + 100 cos ⁡ θ - sin ⁡ θ [ sin ⁡ θ + cos ⁡ θ - 1 ]

[ 1 - tan ⁡ θ ] sin ⁡ θ + cos ⁡ θ - 1 = 0.075

θ = 12.5 °

Ou

θ = 30.8 °

Passo 4

Substituindo 90° por θ

d 2 V d θ 2 = cos ⁡ θ 100 - 400 sin ⁡ θ + 107.5 sin ⁡ θ

= cos ⁡ 90 ° ( 100 - 400 sin ⁡ 90 ° ) + 107.5   s i n ⁡ 90 °

= 107.5

d 2 V d θ 2 > 0

Substituindo por 12.5 °

d 2 V d θ 2 = cos ⁡ θ 100 - 400 sin ⁡ θ + 107.5 sin ⁡ θ

= cos ⁡ 12.5 ° ( 100 - 400 sin ⁡ 90 ° ) + 107.5   s i n ⁡ 12.5 °

= 40.17

d 2 V d θ 2 > 0

O sistema tem equilíbrio estável em 12,5 °   e   90 °

Substituindo por 30.8 °

d 2 V d θ 2 = cos ⁡ θ 100 - 400 sin ⁡ θ + 107.5 sin ⁡ θ

= cos ⁡ 30.8 ° ( 100 - 400 sin ⁡ 90 ° ) + 107.5   s i n ⁡ 30.8 °

= - 34.8784

d 2 V d θ 2 < 0

O sistema tem equilíbrio instável em 30.8 °

Resposta

O sistema tem equilíbrio estável em 12,5 °   e   90 °

O sistema tem equilíbrio instável em 30.8 °