No problema anterior, se os eixos de coordenadas girarem por um ângulo θ em torno do eixo x 3 , demonstre que o novo tensor de inércia é:

Onde

e, dessa forma, demonstre que os eixos x 1   e   x 2 se tornam os eixos principais se o ângulo de rotação é

Passo 1

O novo tensor de inércia { I ' } é obtido de { I } por uma transformação de similaridade. Como nesse caso o foco é analisar apenas uma rotação em torno do eixo x 3 , a matriz transformada é apenas λ ϕ . Então:

I ' = λ ϕ ∙ I ∙ λ ϕ - 1

Em que:

λ ϕ - 1 = λ ϕ t

Passo 2

Portanto a matriz semelhante é:

I ' = c o s θ s e n θ 0 - s e n θ c o s θ 0 0 0 1 A - C 0 - C B 0 0 0 A + B c o s θ - s e n θ 0 s e n θ c o s θ 0 0 0 1

Realizando as operações e simplificando, temos:

I ' =   A c o s 2 θ - C s e n 2 θ + B s e n 2 θ - C   c o s 2 θ + 1 2 B - A s e n ( 2 θ ) 0 - C   c o s 2 θ + 1 2 B - A s e n ( 2 θ ) A s e n 2 θ + C s e n 2 θ + B c o s ² θ 0 0 0 A + B

Fazendo as identificações estipuladas no problema, vemos que:

I 11 ' = A ' ,     I 22 ' = B ' I 12 ' = I 21 ' = - C '

E:

I 33 ' = A + B = A ' + B '

Portanto:

I ' = A ' - C ' 0 - C ' B ' 0 0 0 A ' + B '

Para que x 1 e x 2 sejam os eixos principais, é necessário que C ' = 0 :

C cos ⁡ 2 θ - 1 2 B - A s e n 2 θ = 0

Também:

tan ⁡ 2 θ = 2 C B - A

De onde podemos dizer:

θ = 1 2 tan - 1 ⁡ 2 C B - A

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)