No problema precedente, se o alcance do projétil é R0’ para o caso de ω = 0 , demonstre que a mudança no alcance por causa da rotação da Terra é

∆ R ' = 2 R 0 ' 3 g ω cos ⁡ λ c o t g 1 / 2 α - 1 3 t g 3 / 2 α

Passo 1

E aí pessoal, belezinha? Vamos trabalhar agora em algumas questões de movimento em um sistema de referência não inercial.

No problema anterior assumimos que o movimento z não é afetado pela força de Coriolis. Na verdade, é claro, há uma aceleração para cima dada por:

- 2 ω x v y

De modo a:

z ¨ = 2 ω V 0 cos ⁡ α cos ⁡ λ - g

A partir do qual o tempo de voo é obtido integrando duas vezes, usando as condições iniciais, e então definindo z = 0:

T ' = 2 V 0 s e n   α g - 2 ω V 0 cos ⁡ α cos ⁡ λ

Agora, a aceleração na direção y é:

a y = y ¨ = 2 ω x v z = 2 - ω cos ⁡ λ V 0 s e n   α - g t

Integrando duas vezes e usando as condições iniciais:

y ˙ 0 = V 0 cos ⁡ α   e   y 0 = 0

Nós temos:

y t = 1 3 ω g t 3 cos ⁡ λ - ω V 0 t 2 cos ⁡ λ s e n   α + V 0 t c o s   α

Substituindo o tempo de vôo, temos que o alcance é dado por:

R ' = 8 3   ω V 0 3 g cos ⁡ λ s e n 3   α g - 2 ω V 0 cos ⁡ α cos ⁡ λ 3 - 4 ω V 0 3 cos ⁡ λ s e n 3   α g - 2 ω V 0 cos ⁡ α cos ⁡ λ 2 + 2 V 0 2 cos ⁡ λ cos ⁡ α g - 2 ω V 0 cos ⁡ α cos ⁡ λ

Agora expandimos cada um desses três termos, retendo quantidades até a ordem ω, mas desprezando todas as quantidades proporcionais a ω2 e potências maiores de ω. Nos dois primeiros termos, isso equivale a desprezar 2 ω V 0 cos ⁡ α cos ⁡ λ os em comparação com g no denominador. Mas no terceiro termo devemos usar:

2 V 0 2 cos ⁡ λ s e n   α g - 2 ω V 0 cos ⁡ α cos ⁡ λ ≅ 2 V 0 2 cos ⁡ λ s e n   α g 1 + 2 ω V 0 cos ⁡ λ cos ⁡ α g = R 0 ' + 4 ω V 0 3 g 2 s e n α cos 2 ⁡ α cos ⁡ λ

Onde R 0 ' é o intervalo quando os efeitos de Coriolis são negligenciados [ver Exemplo 2.7]:

R 0 ' = 2 V 0 2 cos ⁡ α s e n   α g

A diferença de intervalo, ∆ R ' = R ' - R 0 ' , agora se torna:

∆ R ' = 4 ω V 0 3 g 2 cos ⁡ λ s e n α cos 2 ⁡ α - 1 3 s e n 3   α

= > ∆ R ' = 2 R 0 ' 3 g ω cos ⁡ λ c o t g 1 / 2 α - 1 3 t g 3 / 2 α

Resposta

Ver passo a passo.