Um projétil de teste é disparado horizontalmente em um líquido com uma velocidade v o . A força de retardo é proporcional ao quadrado da velocidade, de modo que o aceleração torna-se a = - k v 2 . Derivar expressões para a distância D percorrida no líquido e o tempo correspondente necessário para reduzir a velocidade para v o / 2   .Despreze qualquer movimento vertical.

Passo 1

Falaaaai meus amores?

Como estão??

Vem comigo que eu tenho um plano, no caminho eu explicoooo!

Só boraaaaa

Dados fornecidos:

Equação de aceleração, a = - k v 2

v d v d x = - k v 2

∫ v 0 v v - k v 2 d v = ∫ 0 x d x

x = - 1 k ln ⁡ v v 0 v

x = 1 k ln ⁡ v 0 v

Quando

v = - v 0 2 ,   x = D

D = 1 k ln ⁡ 2 v 0 v 0

Distãncia viajada

D = 0.693 k

Passo 2

Agora a parte de cima, teremos

x = 1 k ln ⁡ v 0 v

v = v 0 e - k x

Então

d x d t = v 0 e - k x

∫ 0 x d x v 0 e - k v = ∫ 0 t d t

t = 1 v o k e k v - 1

x = D = 0.693 k

t = 1 v 0 k e k × 0.693 k - 1

Resposta

Portanto, o tempo necessário para reduzir a velocidade é

t = 1 v 0 k