Enunciado

O projeto de uma viga reforçada de conreto é dito ser balanceado, se as máximas tensões no aço e no conreto são iguais às tensões admissíveis σ a e σ c respectivamente. Mostrar que para um projeto balanceado, a distância x da superfície superior da viga até o eixo neutro é:

x = d 1 + σ a ⋅ E c σ c ⋅ E a

Onde E c e E a são os módulos de elasticidade do concreto e do aço, respectivamente e d a distância da superfície superior da viga até os reforçadores de aço.

Passo 1

Agora estamos deparados com problema de “mostre que” então não tenhás medo JOVEM, esse problema é mais tranquilo do que parece.

Antes vamos ver como fica a seção transformada dessa figura de forma genérica, lembrando que o concreto não resiste à tração logo a parte de concreto que está abaixo da linha neutra é desprezada:

Passo 2

Agora vamos lembrar da equação que correlaciona a tensão e o momento fletor:

σ = M ⋅ c I

Onde:

  • σ é a tensão normal admissível.
  • M é o momento fletor.
  • I o momento de inércia.
  • c a maior distância entre a linha neutra e um ponto da peça.

A tensão no concreto será:

σ c = M ⋅ x I

Enquanto no aço:

σ a = n ⋅ M ⋅ ( d - x ) I

Lembre-se do termo n , que aparece quando utilizamos materiais diferentes.

Assim, podemos dividir uma pela outra e achar:

σ a σ c = n ⋅ M ⋅ ( d - x ) I ⋅ I M ⋅ x

σ a σ c = n ⋅ ( d - x ) x

Como o termo n é dado por:

n = E a E c

Temos:

σ a σ c = E a E c ⋅ ( d - x ) x

σ a σ c = E a ⋅ ( d - x ) E c ⋅ x

σ a σ c = E a ⋅ d - E a ⋅ x E c ⋅ x

σ a σ c = E a ⋅ d E c ⋅ x - E a ⋅ x E c ⋅ x

σ a σ c = E a ⋅ d E c ⋅ x - E a E c

Isolando x

σ a σ c + E a E c = E a ⋅ d E c ⋅ x

E c ⋅ x ⋅ σ a σ c + E a E c = E a ⋅ d

E c ⋅ x ⋅ E c ⋅ σ a + σ c ⋅ E a E c ⋅ σ c = E a ⋅ d

x ⋅ E c ⋅ σ a + σ c ⋅ E a σ c = E a ⋅ d

x = E a ⋅ d ⋅ σ c E c ⋅ σ a + σ c ⋅ E a

x = d ⋅ σ c ⋅ E a E c ⋅ σ a + σ c E a

x = d ⋅ σ c E c E a ⋅ σ a + σ c

x = d ⋅ 1 E c E a ⋅ σ a σ c + 1

x = d 1 + σ a E c σ c E a

Pronto!

Viu, acabou que essa questão envolve mais álgebra do que mecânica, de fato!

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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