Reconsidere o problema dos dois osciladores acoplados discutidos na Seção 12.2 no caso em que todas as três molas tenham diferentes constantes de força. Encontre as duas frequências características e compare as magnitudes com as frequências naturais dos dois osciladores na falta de acoplamento.

Passo 1

E aí pessoal, belezinha? Vamos trabalhar agora em algumas questões de oscilações acopladas.

O esquema do problema apresentado:

As equações do movimento são:

M x ¨ 1 + k 1 + k 12 x 1 - k 12 x 2 = 0   e   M x ¨ 2 + k 2 + k 12 x 2 - k 12 x 1 = 0

Tentamos uma solução da forma:

x 1 t = B 1 e i ω t   e   x 2 t = B 2 e i ω t

Substituindo obtemos:

k 1 + k 12 - M ω 2 B 1 - k 12 B 2 = 0   e   k 2 + k 12 - M ω 2 B 2 - k 12 B 1 = 0

Para que exista uma solução não trivial, o determinante dos coeficientes de B1 e B2 deve desaparecer. Isso rende:

k 1 + k 12 - M ω 2 k 2 + k 12 - M ω 2 = k 12 2

De onde obtemos:

ω 2 = k 1 + k 2 + 2 k 12 2 M ± 1 2 M k 1 - k 2 2 + 4 k 12 2

Este resultado reduz-se a:

ω 2 = k + k 12 ± k 12 M ,   n o   c a s o   d e   k 1 = k 2 = k

Se m2 fosse mantida fixa, a frequência de oscilação de m1 seria:

ω 01 2 = 1 M k 1 + k 12

Enquanto no caso inverso, oscilaria com a frequência:

ω 0 2 2 = 1 M k 2 + k 12

Comparando essas frequências com as duas frequências, ω+ e ω−, obtidas anteriormente, encontramos:

ω + 2 = 1 2 M k 1 + k 2 + 2 k 12 + k 1 - k 2 2 + 4 k 12 2 > 1 2 M k 1 + k 2 + 2 k 12 + k 1 - k 2 =

= 1 M k 1 + k 1 2 = ω 01 2

De modo a:

ω + > ω 01

De forma similar:

ω - 2 = 1 2 M k 1 + k 2 + 2 k 12 - k 1 - k 2 2 + 4 k 12 2 < 1 2 M k 1 + k 2 + 2 k 12 - k 1 - k 2 =

= 1 M k 2 + k 12 = ω 02 2

De modo a:

ω - > ω 0 2

Se k 1 > k 2 , então a ordenação das frequências é:

ω + > ω 01 > ω 02 > ω -

Resposta

Ver passo a passo.