Enunciado

Represente graficamente os diagramas de força cortante e momento fletor para a viga.

Passo 1

Fala aí pessoal, vamos para mais um exercício de resmat. A gente precisa fazer os diagramas de esforços solicitantes para essa viga. Só seguir esse passo a passo que vou mostrar.

Primeiro, vamos determinar as reações de apoio em função do carregamento. Repara que nossa viga e a distribuição nela é simétrica. Então as reações serão iguais.

Para determinarmos as forças de reação, precisamos encontrar primeiro a resultante do carregamento F . Ela é dada pela área da figura em que as cargas atuam, neste caso, um trapézio, logo:

F = B + b h 2 F = L + L 3 w 0 2 F = 2 w 0 L 3

Pela simetria:

A y = B y = 1 2 F = w 0 L 3

Bora!

Passo 2

Vamos dividir nossa viga em seções. Nossos pontos críticos serão onde a carga distribuída muda de forma. Teremos então três seções.

Para cada intervalo, a gente corta a viga numa seção genérica, distanciada x da origem estabelecida por nós mesmos.

O próximo passo é achar as equações do momento para as diferentes seções. Aí é colocar as representações dos esforços com convenção positiva dentro da nossa seção e usar as equações de equilíbrio para achar os valores desses esforços.

Agora, vamos para a análise dos esforços internos. Na seção 1, ( 0 ≤ x 1 ≤ L / 3 ) , temos:

Vamos achar esse h por semelhança de triângulos:

x h = L 3 w 0 → h = h = 3 w 0 x L

Aí a gente acha o momento pelas equações de equilíbrio:

∑ M = 0 → M + 3 w 0 x L x 2 x 3 - w 0 L 3 x

M x 1 = - w 0 2 L x 1 3 + w 0 L 3 x 1

Ao derivarmos, vamos encontrar a equação para a força cortante. Temos

V x 1 = d M x 1 d x 1 = - 3 w 0 2 L x 1 2 + w 0 L 3

Passo 3

Já para a seção 2, ( L / 3 ≤ x 2 ≤ 2 L / 3 )

Vamos fazer a mesma coisa. Achar M ( x ) e derivar.

∑ M = 0 → M + w 0 x - L 3 2 2 + w 0 L 6 x - 2 L 9 - w 0 L 3 x

M x 2 = - w 0 2 x 2 2 + w 0 L 2 x 2 - w 0 L 2 54

V x 2 = d M x 2 d x 2 = - w 0 x 2 + w 0 L 2

Passo 4

Como nosso carregamento é simétrico, não precisamos achar as equações da terceira seção. Para achar o diagrama nelas, na hora de desenhar o cortante, a gente espelha em relação a medade do diagrama e em relação ao eixo x . E o momento a gente espelha em torno da metade somente.

Às vezes as equações ficam feias, mas para esboçar, você pode achar alguns pontos chave (onde as curvas cortam os eixos coordenados e nos extremos das seções), os valores máximos e mínimos, e se ligar no tipo de curva que precisa fazer.

Por fim, podemos esboçar os diagramas para momento fletor e força cortante. Fica assim:

Onde os pontos são valores de máximo e mínimo da funções.

Resposta

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