A roda é feita de um anel fino de 5 kg e duas hastes finas de 2 kg. Se a mola de torção presa ao centro da roda tem uma rigidez   k = 2   N ⋅ m / r a d , e a roda é girada até que o torque M=25 N⋅m seja desenvolvido, determine a velocidade angular máxima da roda se for solto do repouso.

Passo 1

O enunciado pede que a gente determine a velocidade angular máxima da roda se for solto do repouso.

Energia Cinética e Trabalho: O momento de inércia de massa da roda em relação ao ponto O é

I O = m R r 2 + 2 1 12 m r l 2

= 5 0.5 2 + 2 1 12 ( 2 ) 1 2

= 1.5833 k g ⋅ m 2

Assim, a energia cinética da roda é

T = 1 2 I O ω 2 = 1 2 1.5833 ω 2 = 0.79167 ω 2

Passo 2

Como a roda é solta do repouso, T 1 = 0 . O torque desenvolvido é M=kθ=2θ. Aqui, o ângulo de rotação necessário para desenvolver um torque de M=25 N⋅m é

2 θ = 25 θ = 12.5 r a d

A roda atinge sua velocidade angular máxima quando o espaçamento é desenrolado, ou seja, quando a roda gira θ = 12,5 rad. Assim, o trabalho realizado por M ∞ é

U M = ∫ M d θ = ∫ 0 12.5 r a d   2 θ d θ

= θ 2 0 12.5 r a d = 156.25 J

Passo 3

Princípio do Trabalho e da Energia

T 1 + Σ u 1 - 2 = T 2

0 + 156.25 = 0.79167 ω 2

ω = 14.0 r a d / s

Resposta

ω = 14.0 r a d / s