A roda está girando em torno do eixo AB com uma velocidade angular de ω s = 10 r a d / s ,, que está aumentando a uma taxa constante de ω ˙ s = 6 r a d / s 2 , enquanto o quadro precessa em torno do eixo z com uma velocidade angular de   ω p = 12 r a d / s 2 , que está aumentando a uma taxa constante de ω p = 3 r a d / s 2 . Determine a velocidade e a aceleração do ponto C localizado na borda da roda neste instante.

Passo 1

O referencial fixo XYZ é ajustado para coincidir com o referencial xyz rotativo no instante considerado. Assim, a velocidade angular da roda neste instante pode ser obtida pela adição vetorial de ω s e ω p .

ω = ω s + ω p = [ 10 j + 12 k ] r a d / s

A aceleração angular do disco é determinada a partir de

α = ω ˙ = ω ˙ s + ω ˙ p

Passo 2

Se definirmos o quadro rotativo xyz para ter uma velocidade angular de   Ω = ω p = [ 12 k ] r a d / s , a direção de ω s permanecerá inalterada em relação ao quadro rotativo xyz que está ao longo do eixo y. Desta forma,

ω ˙ s = ω ˙ s x y z + ω p × ω s = 6 j + ( 12 k ) × ( 10 j ) = [ - 120 i + 6 j ] r a d / s 2

Como ω p é sempre direcionado ao longo do eixo Z onde   Ω = ω p , então

ω ˙ p = ω ˙ p x y z + ω p × ω p = 3 k + 0 = [ 3 k ] r a d / s 2

Assim, α = ( - 120 i + 6 j ) + 3 k = [ - 120 i + 6 j + 3 k ] r a d / s 2

Então r C = [ 0.15 i ] m , por isso

v C = ω × r C = ( 10 j + 12 k ) × ( 0.15 i ) = [ 1.8 j - 1.5 k ] m / s

E

a C = α × r C + ω × ω × r C

= ( - 120 i + 6 j + 3 k ) × ( 0.15 i ) + ( 10 j + 12 k ) × [ ( 10 j + 12 k ) × ( 0.15 i ) ]

= [ - 36.6 i + 0.45 j - 0.9 k ] m / s 2

Resposta

v C = { 1.8 j - 1.5 k } m / s a C = { - 36.6 i + 0.45 j - 0.9 k } m / s 2