Enunciado

Sabendo que, para a viga mostrada na figura a tensão admissível é de 82,7   M P a em tração e de 110,3   M p a em compressão, determine o maior momento fletor M que lhe pode ser aplicado.

Passo 1

Nosso objetivo é determinar os máximos momentos fletores, e a fórmula que relaciona a tensão com o momento é dado por:

σ a d m = - M y I

Como não temos a LN da nossa barra, precisamos determinar ela. Isso é de suma importância para podermos fazer toda a conta, por isso precisamos seguir um passo a passo para determinar a LN.

Para isso precisamos dividir a nossa seção em seções mais simples e determinar a distância do centroide de cada seção até a base da peça total, assim, temos que:

Agora para termos a linha neutra basta fazermos o seguinte:

y - = A 1 y 1 - A 2 y 2 A 1 - A 2

Assim temos que:

A 1 = 30,5 × 61 = 1860,5   m m 2

A 2 = π r 2 2 = π × 19,05 2 2 = 570   m m 2

y 1 = 15,25   m m

y 2 = 8,08   m m

y - = 1860,5 × 15,25 - 570 × 8,08 1860,5 - 570 = 18,42   m m

Assim a nossa LN é:

Passo 2

Agora que temos a LN, podemos determinar o momento de inércia, e o momento de inércia vai ser dado pela seguinte equação:

I = I 1 + A 1 d 1 2 - ( I 2 + A 2 d 2 2 )

Em que as áreas já definimos no passo anterior, e os valores de I 1   e   I 2 são os momentos de inércia de cada uma das seções mais simples. E d 1   e   d 2 são as distâncias do centroide de cada uma das peças mais simples até a LN, assim as medidas da nossa seção são dadas abaixo.

Além disso temos que:

I 1 = b h 3 12 = 61 × 30,5 3 12 = 144228   m m 4

I 2 = π r 4 8 = π × 19,05 4 8 = 51718   m m 4

Assim a inercia da nossa seção vai ser dada por:

I = 144228 - 51718 + ( 1860,5 × 3,17 2 - 570 × 10,34 2 )

I = 50264   m m 4

Agora só precisamos determinar os valores de y, sendo assim teremos que ver o próximo passo.

Passo 3

O valor de y é a distância da LN para as extremidades, assim teremos que:

  • y - positivo e negativo

Como nosso objetivo é determinar o momento fletor, vamos precisar analisar cada situação, assim começando pela tração, vamos ter que:

y + = 12,08   m m

I = 50264   m m 4

σ t r a ç ã o = 82,7 M P a = 82,7 N m m 2

σ x = - M y I

Substituindo, teremos que:

82,7   N m m 2 = - M × 12,08 [ m m ] 50264   [ m m 4 ]

M = - 344109   N m m = - 344,1   N m

E analisando agora a compressão teremos que:

y - = - 18,42   m m

I = 50264     m m 4

σ c o m p r e s s ã o = - 110,3   M P a = - 110,3 N m m 2

σ x = - M y I

Substituindo, teremos que:

- 110,3 N m m 2 = - M × - 18,42 [ m m ] 50264     [ m m 4 ]

M = - 300984   N m m = - 300,98   N m

Como queremos que a estrutura sustente a ação que age nele, devemos escolher o menor momento, que garante a segurança no ponto que ele age, assim como o do que suporta mais momento. Assim teremos que:

M = - 300,98   N m

Resposta

M = - 300,98   N m

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