Um satélite da Terra tem uma velocidade de 28.070 km/h quando em seu perigeu de 220 km acima da superfície do planeta. Determine a distância do apogeu, sua velocidade no apogeu e seu período de revolução.

Passo 1

Faaaaaala, galera... Tranquileba??

Então... Vamos obter o eixo maior a ao aproveitarmos sua relação com a energia total, assim:

E =   - G M m 2 a = 1 2 m v p 2 = G M m r p

Com M sendo a massa da Terra, m a massa do satélite, v p a velocidade do perigeu em orbita, e r p o raio de orbita.

Com valores:

M = 5.976 × 10 24 k g

G = 6.67 × 10 - 11   N m 2 k g - 2

r p = 6.59 × 10 6 m

v p = 7.797 × 10 3   m s - 1

Bora pro próximo passo?!

Passo 2

Obrigado por vir.

Assim:

r a = 2 a - r p = r p 2 G M r p v p 2 - 1 - 1

Substituindo valores:

r a = 6.59 × 10 6 m 2 6.67 × 10 - 11   N m 2 k g - 2 5.976 × 10 24 k g 6.59 × 10 6 m 7.797 × 10 3   m s - 1 2 - 1 - 1 = 6.658 × 10 6   m

Para a velocidade do apogeu, por ele estar em orbita podemos usar a conservação do momento angular, assim:

m r a v a = m r p v p

v a = r p r a   v p = 5.69 × 10 6 m 6.658 × 10 6 m   7.794     m s = 27780   k m h

Passo 3

Assim, o período pode ser encontrado pela terceira lei de Kepler:

t 2 = 4 π 2 a 3 G M → t = 1.49   h o r a s

Resposta

r a = 6.658 × 10 6   m

v a = 27780   k m h

t = 1.49   h o r a s