Seis barras, todas de comprimento L, são unidas formando um tetraedro que está apoiado em uma superfície horizontal, sem atrito. Determine a força em cada barra quando uma força vertical P é aplicada em A.

Passo 1

E ai seres de luz, tudo bem?

Bora resolver mais uma?

Encostaaa!!

Vamos considerar a vista do plano superior

E a vista do plano y z .

Passo 2

Cada lado do tetraedro é l

Da vista de cima do tetraedro, iremos encontrar o comprimento em BE

B E = B D cos ⁡ 60 °

B E = l cos ⁡ 60 °

B E = 0.5   l

Iremos encontrar o comprimento de DE

D E = B D sin ⁡ 60 °

= l s i n   60 °

D E = 0.866 l

O comprimento de EA’

E A ' = 1 3 D E

= 1 3 0.866 l

E A ' = 0.289   l

O comprimento DA’

D A ' = 2 3 D E

= 2 3 0.866 l

D A ' = 0.5773   l

Partindo da vista do plano yz do tetraedro, encontraremos o comprimento AA’

A A ' = A D 2 - D A ' 2

= l 2 - 0.5773 l 2

A A ' = 0.816   l

Marcando as coordenadas de todas as juntas

A   0.5 l ,   0.816 l ,   - 0.286 l

B 0,0 , 0

C l , 0,0

D ( l cos ⁡ 60 ° ,   0 ,   - l sin ⁡ 60 ° )

Passo 3

Vamos considerar o diagrama de corpo livre no nó A

Vamos encontrar o vetor unitário de B a A

F ^ B A = B A → B A

= 0.5 l - 0 i + 0.816 l - 0 j + - 0.289 l - 0 k   0.5 l - 0 2 + 0.816 l - 0 2 + - 0.289 l - 0 2

= l 0.5 i + 0.816 j - 0.289 k l

= 0.5 i + 0.816 j - 0.289 k

Vamos encontrar o vetor unitário de C a A

F ^ C A = C A → C A

= 0.5 l - l i + 0.816 l - 0 j + - 0.289 l - 0 k   0.5 l - l 2 + 0.816 l - 0 2 + - 0.289 l - 0 2

= l - 0.5 i + 0.816 j - 0.289 k l

= - 0.5 i + 0.816 j - 0.289 k

Vamos encontrar o vetor unitário de D a A

F ^ D A = D A → D A

= 0.5 l - l c o s   60 ° i + 0.816 l - 0 j + - 0.289 l - ( - l s i n 60 ° ) k   0.5 l - l c o s   60 ° 2 + 0.816 l - 0 2 + - 0.289 l - ( - l s i n 60 ° ) 2

= l 0 i + 0.816 j + 0.577 k l

= 0 i + 0.816 j + 0.577 k

Representaremos a força externa que atua no nó A na forma cartesiana

P = - P j

Passo 4

Vamos aplicar a condição de equilíbrio de forças sobre o nó A

∑ F = 0

P + F B A + F C A + F D A = 0

P + F B A F ^ B A + F C A F ^ C A + F D A F ^ D A = 0

- P j + F B A 0.5 i + 0.816 j - 0.289 k + F C A - 0.5 i + 0.816 j - 0.289 k + F D A 0 i + 0.816 j + 0.577 k = 0

0.5 F B A - 0.5 F C A - 0 F D A i + 0.816 F B A + 0.816 F C A + 0.816 F D A - P j + - 0.289 F B A - 0.289 F C A + 0.577 F D A k = 0

Igualando o coeficiente i a zero

0.5 F B A - 0.5 F C A - 0 F D A = 0

Igualando o coeficiente j a zero

0.816 F B A + 0.816 F C A + 0.816 F D A - P = 0

0.816 F B A + 0.816 F C A + 0.816 F D A = P

Igualando o coeficiente z a zero

- 0.289 F B A - 0.289 F C A + 0.577 F D A = 0

Resolvendo as expressões , temos os valores nos cabos

F B A = 0.4034 P

F C A = 0.4034 P

F D A = 0.4186 P

Portanto, as forças nos cabos AB, AC, e AD são 0.4034 P ,   0.4034 P ,   0.4186 P , respectivamente.

Passo 5

Considerando o D.C.L do nó B

Vamos encontrar o vetor unitário de A a B

F ^ A B = A B → A B

= 0 - 0.5 l i + 0 - 0.816 l j + 0 - - 0.289 l k   0 - 0.5 l 2 + 0 - 0.816 l 2 + 0 - - 0.289 l 2

= l - 0.5 i - 0.816 j + 0.289 k l

= - 0.5 i - 0.816 j + 0.289 k

Vamos encontrar o vetor unitário de C a B

F ^ C B = C B → C B

= 0 - l i + 0 - 0 j + 0 - 0 k   0 - l 2 + 0 - 0 2 + 0 - 0 2

= - i + 0 j + 0 k

Vamos encontrar o vetor unitário de D a B

F ^ D B = D B → D B

= 0 - l c o s   60 ° i + 0 - 0 j + 0 - ( - l s i n 60 ° ) k   0 - l c o s   60 ° 2 + 0 - 0 2 + 0 - ( - l s i n 60 ° ) 2

= - 0 . 5 i + 0 j + 0.866 k

Representaremos a força externa que atua no nó B na forma cartesiana

B = B y j

Vamos aplicar a condição de equilíbrio de forças sobre o nó B

∑ F = 0

B + F A B + F C B + F D B = 0

B + F A B F ^ A B + F C B F ^ C B + F D B F ^ D B = 0

B y j + 0.4034 P - 0.5 i - 0.816 j + 0.289 k + F C B - i + 0 j + 0 k + F D B - 0.5 i + 0 j + 0.866 k = 0

- 0.202 P - F C B - 0.5 F D B i + - 0.329 P - 0 F C B + 0 F D B + B y j + 0.117 P - 0 F C B + 0.866 F D B k = 0

Igualando o coeficiente z a zero

0.117 P - 0 F C B + 0.866 F D B = 0

F D B = - 0.135 P

O sinal negativo informa que o membro está sendo tracionado.

Igualando o coeficiente i a zero

- 0.202 P - F C B - 0.5 F D B = 0

- 0.202 P - F C B - 0.5 - 0.135 P = 0

F C B = - 0.135 P

O sinal negativo informa que o membro está sendo tracionado.

Portanto, as forças nos cabos BD e BC são 0.135 P ,   0.135 P , respectivamente.

Passo 6

Considerando o diagrama de corpo livre no nó C

Vamos encontrar o vetor unitário de A a C

F ^ A C = A C → A C

= l - 0.5 l i + 0 - 0.816 l j + 0 - - 0.289 l k   l - 0.5 l 2 + 0 - 0.816 l 2 + 0 - - 0.289 l 2

= l 0.5 i - 0.816 j + 0.289 k l

= 0.5 i - 0.816 j + 0.289 k

Vamos encontrar o vetor unitário de B a C

F ^ B C = B C → B C

= l - 0 i + 0 - 0 j + 0 - 0 k   l - 0 2 + 0 - 0 2 + 0 - 0 2

= i + 0 j + 0 k

Vamos encontrar o vetor unitário de D a C

F ^ D C = D C → D C

= l - l c o s   60 ° i + 0 - 0 j + 0 - ( - l s i n 60 ° ) k   l - l c o s   60 ° 2 + 0 - 0 2 + 0 - ( - l s i n 60 ° ) 2

= 0.5 i + 0 j + 0.866 k

Representaremos a força externa que atua no nó C na forma cartesiana

C = C y j

Vamos aplicar a condição de equilíbrio de forças sobre o nó C

∑ F = 0

C + F A C + F B C + F D C = 0

B + F A C F ^ A C + F B C F ^ B C + F D C F ^ D C = 0

C y j + 0.4034 P 0.5 i - 0.816 j + 0.289 k + ( - 0.135 ) - i + 0 j + 0 k + F D C 0.5 i + 0 j + 0.866 k = 0

0.202 P - 0.135 P - 0.5 F D B i + - 0.329 P - 0 F D C + C y j + 0.117 P + 0.866 F D C k = 0

Igualando o coeficiente z a zero

0.117 P + 0.866 F D C = 0

F D C = - 0.135 P

O sinal negativo informa que o membro está sendo tracionado.

Portanto, as forças nos cabos CD são 0.135 P .

Resposta

Portanto, as forças nos cabos AB, AC, e AD são 0.4034 P ,   0.4034 P ,   0.4186 P , respectivamente.

Portanto, as forças nos cabos BD e BC são 0.135 P ,   0.135 P , respectivamente.

Portanto, as forças nos cabos CD são 0.135 P .