Seja F um vetor arbitrário que passa pela origem e sejam a,b, c três vetores arbitrários não coplanares que passam pela origem. Deseja-se decompor F em vetores paralelos a a, b e c, que é, deseja-se encontrar magnitudes L a ,   L b e L c tais que

F = L e a + L e b + L e c

Esboce isso e mostre que envolve um paralelepípedo cujas arestas são paralelas a a, b e c com F como diagonal. Use as propriedades do produto triplo escalar para mostrar que

L c = F × b ⋅ c a × b ⋅ c

com expressões semelhantes para L b e L c -

Passo 1

O P → ≡ F →

Desenhe planos que passam por P paralelos a ( a ‾ , b ‾ ) , ( b ‾ , c ‾ ) , ( c ‾ , a ‾ ) Faça a interseção com a ‾ , a ‾ , b ‾ em R,S e Q.

Então   O P = L a ; O Q = L b ; O R = L c .

Assim, os componentes são obtidos por

formando um paralelepípedo com F como cliagonal principal e a ‾ , b ‾ , c   ‾ alinhado ao longo de três arestas contíguas.

( F - × b - ) ⋅ c - = h a a - + h b b - + h c c - × b - ⋅ c -

= L a ( a - × b - ) ⋅ c - + L b ( b - × b - ) ⋅ c - + L c ( c - × b - ) ⋅ c -

Passo 2

Agora ( c - × b - ) ⋅ c - = 0  porque   c - × b - ⊥ c -

Também ( b - × b - ) = 0  pela definição de produto vetorial

∴ ( F - × b - ) ⋅ c - =  La  a ( a - × b - ) ⋅ c - ∴ L a = F - × b - ⋅ c - ( a - × b - ) ⋅ c - .

expressões semelhantes são facilmente obtidas para L b e Lc,

L b = ( F - × c - ) ⋅ a - ( a - × b - ) ⋅ c -

E L c = ( F - ¯ × a - ) ⋅ b - ( a - × b - ) ⋅ c -

Resposta

L b = ( F - × c - ) ⋅ a - ( a - × b - ) ⋅ c -

L c = ( F - ¯ × a - ) ⋅ b - ( a - × b - ) ⋅ c -